6 . Um objeto massivo é preso a uma mola tal que a sua função movimento pode ser obtida como solução da equação diferencial x ¨ + 2 ω 0 x ˙ + ω 0 2 x = 0 , onde ω 0 é uma constante real positiva. Sabe-se que, em t = 0 , ele se encontra na posição de equilíbrio x = 0 e sofre um impulso tal que sua velocidade inicial é v 0 > 0 . É correto afirmar que:

Escolha uma opção:

a . A posição deste objeto oscila em torno da posição de equilíbrio com amplitude inicial v 0 / ω 0 e decrescente com o tempo.

b . O maior deslocamento alcançado por este objeto é T m T p = v 0 ω 0 .

c . Este sistema representa um oscilador harmônico amortecido; logo a solução é sempre decrescente (em módulo).

d . Este sistema representa um oscilador harmônico amortecido e, como o objeto já está inicialmente na posição de equilíbrio, ele não se move.

e . O maior deslocamento alcançado por este objeto é v 0 ω 0 e - 1 .

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve essa juntos!

Para ver que opção é a correta, vamos usar a solução daquela equação que é dada por:

x t = A e - ω 0 t + B t e - ω 0 t

Sabemos que em t = 0 , temos x 0 = 0 , assim:

x 0 = A + 0 = 0

Então temos que A = 0 , agora vamos derivar essa expressão para analisar a velocidade, asism:

v t = - A ω 0 e - ω 0 t + B e - ω 0 t - B t ω 0 e - ω 0 t

Para t = 0 e sabendo que A = 0 , temos:

v 0 = 0 + B - 0 = v 0

Então temos que B = v 0 , então x ( t ) fica da seguinte forma:

x t = v 0 t e - ω 0 t

Pela cara dessa equação podemos ver que ela não oscila, então não temos um oscilador harmônico amortecido.

Passo 2

Vamos ver a amplitude que essa equação atinge, para isso vamos derivar ela e igualar a zero, temos:

x ' = v 0 e - ω 0 t - v 0 t ω 0 e - ω 0 t = 0

⇒ v 0 t ω 0 e - ω 0 t = v 0 e - ω 0 t

⇒ t = 1 ω 0

Então temos que:

x t = 1 ω 0 = v 0 1 ω 0 e - ω 0 ω 0

= v 0 ω 0 e - 1

Então a alternativa que disse algo verdadeiro foi a letra e .

Resposta

e . O maior deslocamento alcançado por este objeto é v 0 ω 0 e - 1 .

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