Exercícios Resolvidos de Movimento Harmônico Amortecido

USP-P1-2008-Q4

Um corpo preso na extremidade de uma mola e imerso em um fluido viscoso, executa um movimento harmônico amortecido no regime subcrítico, conforme a equação horária:

x t = 4 e - 3 t cos ⁡ 4 t + ∅

Sabendo-se que o corpo possui velocidade nula no instante t = 0 , determine:

  1. A frequência natural de oscilação ω 0 (frequência na ausência de força viscosa) do sistema massa-mola
  2. A fase inicial do movimento.
  3. O tempo necessário pra que a amplitude do movimento se reduza à metade do valor inicial.

Passo 1

Bem galera, a frequência angular de um sistema massa mola amortecido e a frequência angular natural se relacionam por:

ω = ω 0 2 - γ 2 4   → ω 0 = ω 2 + γ 2 4

Beleza. Analisando a equação do enunciado e comparando com o modelo:

x t = A e - γ 2 t cos ⁡ ω t + ∅

A gente nota que:

ω = 4   r a d / s

E:

γ 2 = 3   → γ = 6

Então:

ω 0 = 4 2 + 6 2 4 = 25 = 5   r a d / s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

A função da velocidade do MHA é calculada pela derivada da função x t :

x ˙ t = - 12 e - 3 t cos ⁡ 4 t + ∅ - 16 e - 3 t s e n ( 4 t + ∅ )

Usamos a regra do produto ali encima. Aplicando x ˙ 0 = 0 :

0 = - 12 cos ⁡ ∅ - 16 s e n ∅ = 0

tan ⁡ ∅ = - 12 16 = - 3 4   →   ∅ = a r c t g - 3 4

Passo 3

c)

Pra calcular isso, a gente simplesmente precisa analisar só como a amplitude do movimento decai.

Isso é:

à t = 4 e - 3 t  

Como a amplitude vale 4 , precisamos descobrir qual o tempo que o sistema leva pra ficar com amplitude 2 :

2 = 4 . e - 3 t   → 1 2 = e - 3 t

Tirando logaritimos:

ln ⁡ 1 2 = - 3 t → ln ⁡ 2 - 1 = - 3 t

- ln ⁡ 2 = - 3 t

3 t = ln ⁡ 2   → t = ln ⁡ 2 3

Resposta

a)

ω 0 = 5   r a d / s

b)

∅ = a r c t g - 3 4

c)

t = ln ⁡ 2 3

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