Uma mola ideal com constante elástica de 15,0 N/m está pendurada no teto. Um corpo de massa 500 g é preso à extremidade livre da mola e baixado lentamente até a posição de equilíbrio. Depois, ele é puxado 6,0 cm para baixo e abandonado, passando a executar um movimento harmônico amortecido pela resistência do ar. Qual a constante de tempo se após 30 oscilações a amplitude é igual a 3,0 cm?

Passo 1

Primeira coisa que você precisa saber: constante de tempo é o inverso do amortecimento. Ou seja, 1 γ . Beleza!

Segunda coisa que você precisa saber: se ele tá dizendo que tem oscilação necessariamente o tipo de amortecimento vai ser subcrítico. Ok? Porque é o único tipo de amortecimento que tem oscilação.

E você lembra que no amortecimento subcrítico a gente tem uma fórmula pra amplitude? Ela é:

A t = A 0 e - γ t 2

E ele disse que depois de 30 oscilações a amplitude é 3 cm. Então se a gente achar o tempo dessas 30 oscilações a gente acha a amplitude! Certo?

Passo 2

Essas 30 oscilações vão acontecer em 30 períodos completos. Então vamos calcular o período:

T = 2 π m k

T = 2 π 0,5 15

T ≅ 1,15   s

E em 30 oscilações vamos ter:

t = 30 T

t = 30 × 1,15

t = 34,5   s

Show! Então vamos substituir lá na amplitude:

A 34,5   = 0,03 = 0,06 e - 34,5 γ 2

E o deslocamento de 6 cm é a amplitude inicial A 0 . Então:

e - 34,5 γ 2 = 0,5

Aplicando l n dos dois lados:

- 34,5 γ 2 = ln ⁡ 0,5

- 34,5 γ 2 = - , 069

γ = 0,04   s - 1

Então o que queremos achar:

1 γ = 1 0,04 = 25   s

Resposta

25   s

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