Duas balanças são constituídas, cada uma, por uma mola e um prato, em que se deposita uma massa a ser medida. Observa-se que para a primeira balança, o prato não oscila, mas a balança demora um certo tempo para marcar o valor correto depois que a massa é posta no prato. Nota-se também que a segunda balança oscila várias vezes antes que o prato pare e esse valor possa ser lido. Assinale a alternativa INCORRETA:

(a) Na primeira balança observa-se um regime de amortecimento crítico ou supercrítico.

(b) Na segunda balança observa-se um regime de amortecimento subcrítico.

(c) Quanto mais amortecido o sistema, menos tempo a balança leva para marcar o valor correto.

(d) Se não houvesse nenhum tipo de amortecimento, a balança poderia oscilar por tempo indeterminado.

(e) O valor da massa altera a frequência natural de oscilação do sistema massa+prato+mola.

Passo 1

No movimento harmônico amortecido,

x ¨ + γ x ˙ + ω 0 2 x = 0

Que tem equação característica:

r 2 + γ r + ω 0 2 = 0

Onde

Δ = γ 2 - 4 ω 0 2

Pode possuir três soluções diferentes:

Para Δ > 0 , amortecimento supercrítico:

Para Δ = 0 , amortecimento crítico, onde o decaimento é mais rápido do que no supercrítico:

Para Δ < 0 amortecimento subcrítico, onde o sistema decai com um movimento oscilatório.

Passo 2

Na primeira balança, o prato não oscila, logo o movimento não pode ser subcrítico.

Já a segunda balança oscila várias vezes antes de parar, logo o movimento é obrigatoriamente subcrítico.

Logo, as alternativas a e b estão corretas.

Passo 3

A frequência natural de oscilação do sistema é

ω 0 = k m

Logo, a alternativa e está correta, ela depende da massa.

Passo 4

Vamos analisar as duas últimas alternativas:

(d) Se não houvesse nenhum tipo de amortecimento, a balança poderia oscilar por tempo indeterminado.

Se não tem amortecimento γ = 0 , então a equação seria

x ¨ + ω 0 2 x = 0

Cuja solução é uma oscilação não-amortecida do tipo

x t = A cos ⁡ ω t + ϕ

Alternativa correta.

Passo 5

E por último,

(c) Quanto mais amortecido o sistema, menos tempo a balança leva para marcar o valor correto.

Podemos ver que o caso que leva menos tempo para marcar o valor correto é o amortecimento crítico, Δ = γ 2 - 4 ω 0 2 = 0 .

γ c r í t i c o = 2 ω 0

Mas no caso supercrítico, a balança demora mais tempo, e Δ = γ 2 - 4 ω 0 2 > 0

γ s u p e r c r í t i c o > 2 ω 0

Ou seja, o amortecimento ( γ ) é maior mas a balança demora mais tempo para chegar no equilíbrio. Alternativa incorreta!

Resposta

(c) Quanto mais amortecido o sistema, menos tempo a balança leva para marcar o valor correto.

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