4 . O gráfico abaixo representa a posição x em função do tempo t de uma partícula de massa m , que realiza um movimento harmônico amortecido, sujeita a uma força F = - b d x d t onde b é a constante de amortecimento e v = d x d t é a velocidade do oscilador. Podemos afirmar que o valor da constante γ (definida como γ = b m ) para este movimento é, aproximadamente:

( a )   0,05   s - 1

( b )   0,14   s - 1

( c )   0,03   s - 1

( d )   0,02   s - 1

( e )   0,10   s - 1

Passo 1

Vem comigo que a gente resolve esse problema!

Como enunciado diz temos um gráfico de um oscilador harmônico amortecido, pelo gráfico temos um caso de amortecimento subcrítico e a amplitude desse movimento é dada por:

A t = A 0 e - γ 2 t

Onde A 0 é amplitude em t = 0 , olhando o gráfico vemos que A 0 = 10   c m .

Para achar γ podemos fazer a razão entre A em instantes de tempo que temos como saber quanto ele vale.

Para t = 0 , já temos que:

A 0 = A 0 = 10   c m

Olhando o gráfico que em t = 14   s temos que amplitude vale 5   c m , logo:

A 14 = A 0 e - γ 2 14 = 5   c m

Vamos lá então!

Passo 2

Então temos que a razão entre essas duas amplitudes é dada por:

A 0 e - γ 2 14 A 0 = 5 10 = 0,5

⇒ e - γ 2 14 = 0,5 = 1 2

Aplicando l n nos dois lados, temos:

- γ 2 14 = ln ⁡ 1 2

Mas temos que:

ln ⁡ 1 2 = ln ⁡ 1 - ln ⁡ 2

= - ln ⁡ 2

Então temos que:

- γ 2 14 = - ln ⁡ 2

⇒ γ = ln ⁡ 2 7

Usando que ln ⁡ 2 = 0,7 , temos que:

γ = 0,1   s - 1

Com isso a alternativa correta é a ( e ) .

Resposta

( e )   0,10   s - 1

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