Uma mola de massa desprezível, comprimento L 0 e constante k = 1,125 ⋅ 10 4   N / m se encontra presa ao teto. Na sua extremidade livre é pendurado um bloco de massa m = 50   k g . O sistema é abandonada em um meio viscoso cujo coeficiente de atrito viscoso é ρ = 100   N s / m , sob a ação da força peso ( F → P = + m g   j → ), da força da mola F → m = - k y   j → e da força viscosa ( F → v = - ρ d y d t   j → ). A função que descreve a posição do bloco no tempo, y t , deste distema será escrita como:

y t = y p t + y h t

onde y p t é a solução particular (ou estacionária) da equação não-homogênea e y h t é a solução da equação diferencial homogênea. Adotando o eixo y como está indicado na figura, resolva as questões Q5, Q6, Q7 e Q8.

Q6) Determine a solução particular y p t da equação diferencial não-homogênea.

Passo 1

Antes de qualquer coisa, é importante saber que essa questão é continuação da questão 5 da P2 de 2019! Na questão 5, obtivemos que a equação diferencial do problema é

d 2 y d t 2 + γ d y d t + ω 0 2   y = g

Substituindo os valores numéricos, encontramos:

d 2 y d t 2 + 2 d y d t + 225   y = 10

Nosso objetivo nessa questão é achar uma solução particular da equação não-homogênea. Vamos ver como fazer isso!

Passo 2

Queremos achar uma solução particular dessa equação:

d 2 y d t 2 + ρ m d y d t + k m   y = g

Note que nela aparece a própria função ( y ) e algumas de suas derivadas. Vamos tentar uma solução do tipo constante:

y p t = C

Assim,

d y d t = 0             e           d 2 y d t 2 = 0

Substituindo na equação, obtemos

0 + 0 + k m   C = g

Assim,

C = m g k

Portanto, a solução particular da equação não-homogênea é

y p t = m g k

Passo 3

Observe que o “chute” y p = C dá certo pois as derivadas se anulam e a equação fica extremamente simples. Existem outros “chutes” que você pode fazer, mas esse é definitivamente o mais simples para esse problema! É importante ressaltar que outras soluções até podem ser encontradas, mas els estarão, de alguma forma ligada à solução da equação homogênea.

Resposta

y p t = m g k

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