Mostre que para um oscilador harmônico amortecido, sob a ação de uma força do tipo F = - b v , oscilações ocorrerão somente quando for satisfeita a condição b ≤ 2 k m .

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

Temos aqui o caso clássico de um oscilador harmônico amortecido, ou seja, temos uma força restauradora da forma

F = - k x

e, temos uma força resistiva proporcional a velocidade da forma

F = - b v

precisamos verificar que as condições para a oscilação são tais que

b ≤ 2 k m

Para isso, vamos analisar a equação diferencial que é obtida ao analisarmos a segunda lei de Newton

F R = m a

As soluções desta equação diferencial irão indicar vínculos sobre b para que o movimento seja oscilatório! Saca só!

Passo 2

A força resultante F R é dada por

F R = - k x - b v

de forma que a segunda lei de Newton resulta em

m a + b v + k x = 0

usando que

a = d 2 x d t 2 e v = d x d t

a equação diferencial que devemos resolver é a seguinte equação diferencial de segunda ordem

d 2 x d t 2 + b m d x d t + k m x = 0

em que dividi toda a equação por m . Vamos procurar as possíveis soluções!

Passo 3

Escrevendo o polinômio característico da equação diferencial temos que

r 2 + b m r + k m = 0

usando Bhaskara, as raízes são da forma

r ± = - b m ± ( b m ) 2 - 4 k m 2

note que existem três possibilidades de soluções tendo em vista o resultado da operação

Δ = b 2 m 2 - 4 k m

Quando Δ = 0 , temos raízes repetidas e portanto

b 2 m 2 = 4 k m

de forma que

b = 2 k m

podemos então considerar três intervalos, o intervalo

b < 2 k m , b > 2 k m e b = 2 k m

Vamos verificar qual deles nos dá um movimento oscilatório!

Passo 4

Para o intervalo

b = 2 k m

temos que as raízes são repetidas, e portanto, a solução de nossa equação diferencial homogênea de segunda ordem é

x ( t ) = ( A + B t ) e - b 2 m t

que é uma solução que cresce linearmente no início e rapidamente decai exponencialmente (nenhum oscilação). Quando temos que

b > 2 k m

temos raízes reais distintas e temos que

x ( t ) = A e ( - b 2 m + 1 2 Δ ) t + B e ( - b 2 m - 1 2 Δ ) t

que é um crescimento exponencial seguido de um decaimento exponencial, novamente, não temos oscilações! Por último, temos o intervalo

b < 2 k m

que resulta em raízes complexas-conjugadas, portanto, temos que a solução é dada por

x = A e - b 2 m t c o s ( 1 2 | Δ | t ) + B e - b 2 m t s e n ( 1 2 | Δ | t )

que é um movimento oscilatório que decai lentamente através de um invólucro dado pela exponencial! Ou seja, oscilações ocorrem apenas para

b < 2 k m

como queríamos demonstrar! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

Exercícios de Livros Relacionados

137. Uma máquina de 200k g se apoia sobre quatro suportes no chão, cada um dos quais possui uma constante de mola efetiva k = 250k N / m e um coeficiente de amortecimento viscoso efetivo c = 1000 N ⋅
138. Represente graficamente a resposta x do corpo de 20k g ao longo do intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 1 segundo. Determine os valores máximo e mínimo de x e seus respectivos instantes de tempo. As condiç
Para uma criança em um balanço, a amplitude cai em um fator de 1 e em cerca de oito períodos, se nenhuma energia mecânica adicional for fornecida ao sistema. Estime o fator Q para este sistema.
Para o cilindro do Prob. 8/8, determine o deslocamento vertical x, medido para baixo no sentido positivo em milímetros, a partir da posição de equilibro, em termos do tempo t, em segundos, medido a pa
Em um oscilador amortecido com m = 250 g , k = 85 N / m e b = 70 g / s , qual é a razão entre a amplitude das oscilações amortecidas e a amplitude inicial após 20 ciclos?