Dado um oscilador unidimensional, sabe-se que a resistência dá origem a um termo adicional obtendo a equação m x ¨ =   - k x - ρ x ˙ , onde – ρ x ˙ , representa a resistência dissipativa, que atua em sentido oposto à velocidade. Dividindo por m , e usando a notação complexa z t = e p t obtemos a equação característica p 2 +   γ p +   ω 0 2 = 0 , onde γ =   ρ / m e ω 0 2 =   k / m . Dependendo da magnitude de γ / 2 sobre ω 0 temos que as raízes da ultima equação proporcionam soluções exponenciais, oscilatórias com amplitude decrescente ou uma única exponencial. Estas soluções correspondem, respectivamente, aos regimes:

  1. Crítico, supercrítico e crítico
  2. Supercrítico, crítico e subcrítico
  3. Subcrítico, supercrítico e crítico
  4. Supercrítico, subcrítico e crítico
  5. Subcrítico, crítico e supercrícico

Passo 1

Resolveremos essa com uma rápida consulta à nossa teoria. As soluções para os três casos de amortecimento são:

Amortecimento supercrítico:

Nesse caso: Δ > 0

Então a equação auxiliar tem duas raízes reais e distintas:

m r 2 + c r + k = 0

r = r 1   ,   r 2

E a solução é dada por:

x t = c 1 e - r 1 t + c 2 e - r 2 t

Amortecimento subcrítico:

Nesse caso: Δ < 0

Então a equação auxiliar tem duas raízes imaginárias:

m r 2 + c r + k = 0

r = α ± β i

E a solução é dada por:

x t = e α t c 1 cos ⁡ β t + c 2 sen ⁡ β t

Amortecimento crítico:

Nesse caso: Δ = 0

Então a equação auxiliar tem duas raízes reais e iguais:

m r 2 + c r + k = 0

r = r 1 = r 2

E a solução é dada por:

x t = c 1 e - r t + c 2 t e - r t

Ou, se preferir colocar em evidência:

x t = c 1 + c 2 t e - r t

Passo 2

Bom, agora fica fácil perceber que a ordem certa é:

Supercrítico (Pois tem duas exponenciais);Subcrítico( Pois tem oscilações); Crítico( Pois tem apenas uma exponencial).

Resposta

d)

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