O gráfico ao lado representa o movimento de um oscilador harmônico amortecido.

a ) Usando as informações do gráfico faça uma estimativa dos valores da frequência de oscilação ( ω 1 ) e do coeficiente de amortecimento ( β = - b / 2 m ) .

(Dica: se necessário amplie a figura)

Passo 1

Oiie, tudo bem?

O enunciado nos dá o seguinte gráfico

este gráfico representa um oscilador harmônico amortecido! Estas oscilações são regidas pela equação

x ( t ) = A e β t c o s ( ω 1 t )

em que

ω 1 = | β 2 - ω 0 2 |

com

β = - b 2 m e ω 0 2 = k m

Esta alternativa nos pede

a ) Usando as informações do gráfico faça uma estimativa dos valores da frequência de oscilação ( ω 1 ) e do coeficiente de amortecimento ( β = - b / 2 m ) .

Vamos tentar usar as informações acima para estimar o que foi pedido! Vem comigo!

Passo 2

Primeiro, temos que a frequência está relacionada ao período pela relação

ω 1 = 2 π T

e T é o tempo entre dois picos em nosso gráfico. Ou seja, aproximadamente

T ≈ 1,4   s

de forma que

ω 1 ≈ 4,49   r a d   s - 1

Agora, para encontrarmos a constante β vamos lembrar um pouco do conceito de meia-vida no decaimento exponencial!

Passo 3

Para esta estimativa em específico vamos lembrar o papel da exponencial neste problema! Temos um decaimento exponencial, ou seja, o argumento da exponencial está relacionado a uma grandeza com unidade temporal chamada tempo de “meia-vida”, que é quando a amplitude da oscilação cai pela metade do que era originalmente! O argumento da exponencial e o tempo de meia vida estão relacionados pela relação

1 τ = | β |

Observando a figura note que a amplitude cai abaixo da metade em uma oscilação completa, mas apenas um pouco abaixo da metade, portanto, temos que τ é um pouco menor que um período, vamos tomar como aproximadamente τ ≈ 1,3   s , sendo assim, temos que

| β | ≈ 0,77   s - 1

A primeira alternativa foi isso! Vamos para a próxima!

Resposta

ω 1 ≈ 4,49   r a d   s - 1 e | β | ≈ 0,77   s - 1

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