Uma mola de massa desprezível, comprimento L 0 e constante k = 1,125 ⋅ 10 4   N / m se encontra presa ao teto. Na sua extremidade livre é pendurado um bloco de massa m = 50   k g . O sistema é abandonada em um meio viscoso cujo coeficiente de atrito viscoso é ρ = 100   N s / m , sob a ação da força peso ( F → P = + m g   j → ), da força da mola F → m = - k y   j → e da força viscosa ( F → v = - ρ d y d t   j → ). A função que descreve a posição do bloco no tempo, y t , deste distema será escrita como:

y t = y p t + y h t

onde y p t é a solução particular (ou estacionária) da equação não-homogênea e y h t é a solução da equação diferencial homogênea. Adotando o eixo y como está indicado na figura, resolva as questões Q5, Q6, Q7 e Q8.

Q5) Escreva a equação diferencial que descreve o movimento deste oscilador, explicitando os valores numéricos dos coeficientes no sistema MKS.

Q6) Determine a solução particular y p t da equação diferencial não-homogênea.

Q7) O movimento do oscilador descrito pela equação homogênea é crítico, subcrítico ou supercrítico? Justifique sua resposta numericamente.

Q8) Uma vez que no instante t = 0 a posição do bloco é y t = 0 = 0 e a sua velocidade v t = 0 = 0 , determine a solução geral y t . Resolva de forma literal, sem fazer substituições numéricas.

Passo 1

Fala pessoal, vamos resolver esse exercício sobre movimento harmônico amortecido. Nessa resolução vamos fazer apenas a Q5, as demais ficam para as resoluções seguintes!

As forças que agem sobre o corpo de massa m são: força peso ( F → P = + m g   j → ), força da mola F → m = - k y   j → e força viscosa ( F → v = - ρ d y d t   j → ). Assim, a força resultante é dada pela soma de todas as forças:

F → = F → P + F → m + F → v

Portanto,

F → = m g   j → - k y   j → - ρ d y d t   j →

Mas pela segunda lei de Newton, sabemos que

F → = m d 2 y d t 2   j →

Assim,

m d 2 y d t 2   j → = m g   j → - k y   j → - ρ d y d t   j →

Essa equação pode ser reescrita como

m d 2 y d t 2 + ρ d y d t + k y = m g

Passo 2

Dividindo toda a equação por m :

d 2 y d t 2 + ρ m d y d t + k m   y = g

Para simplificar um pouco a expressão, renomeamos algumas variáveis:

γ = ρ m                     e                   ω 0 2 = k m

Assim,

d 2 y d t 2 + γ d y d t + ω 0 2   y = g

Essa é quase a equação que você está acostumando, tirando aquele g do lado direito.

Passo 3

Agora vamos substituir os valores numéricos:

γ = 100   N s / m 50   k g = 2   s - 1

ω 0 2 = 1,125 ⋅ 10 4   N / m 50   k g = 225 r a d 2 s 2 ⇒ ω 0 = 15   r a d / s

Com g = 10   m / s 2 , a equação fica

d 2 y d t 2 + 2 d y d t + 225   y = 10

Essa é a resposta da pergunta!

Resposta

d 2 y d t 2 + 2 d y d t + 225   y = 10

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