Uma bola de Natal ( esfera oca) de massa M e raio R é pendurada em um ramo de árvore por um pequeno fio(comprimento desprezível) preso à superfície da esfera(vide figura) e oscila sob a ação da gravidade.

  1. Escreva a equação diferencial do movimento para o ângulo θ t que o eixo da bola de Natal faz com a vertical( Vide figura abaixo).
  2. Se a bola é deslocada por um ângulo pequeno ( θ ≪ 1 r a d ) e solto a seguir, calcule a frequência natural de oscilação do sistema.
  3. Considere agora que o atrito do ar gere um torque proporcional à velocidade angular e a área A da bola: τ r e s = - b . A . d θ d t onde b é uma constante ( considere θ ≪ 1 r a d e despreze outros tipos de atrito). Nesse caso:

  4. Calcule o fator de qualidade do sistema em termos dos dados do problema.
  5. Calcule, em função dos outros dados do problema, o raio máximo da bola R m á x para que o regime de amortecimento seja subcrítico.

Dado: Momento de inércia da esfera em relação ao eixo do fio: I = 5 3 m R 2

Passo 1

a):

Bom, a variação do momento angular vai ser igual ao torque causado pela força externa, no caso, a força gravitacional( Você deve ter visto isso no seu curso de mecânica (:!). Então:

d L d t = τ

Só que L :

L = I ω = I d θ d t

Bom, o torque da força peso pode ser calculado se a gente decompor a força peso na direção perpendicular ao eixo da bola. Isso é:

τ = - m g R s e n θ

Logo:

d L d t = τ

I d 2 θ d t 2 = - m g R s e n ( θ )

Show de boleba!Substituindo o valor de I :

5 3 m R 2 d 2 θ d t 2 = - m g R s e n θ

d 2 θ d t 2 + 3 g 5 R s e n θ = 0

Passo 2

b):

Para θ ≪ 1 , s e n ( θ ) ≈ θ :

d 2 θ d t 2 + 3 g 5 R s e n θ = 0

d 2 θ d t 2 + 3 g 5 R θ = 0

Mas esse é um modelo de MHS. Logo, o termo que multiplica o fator de primeira ordem ( θ ) , é a frequência angular ao quadrado:

ω 0 2 = 3 g 5 R   ↔ ω 0 = 3 g 5 R

Passo 3

c):

Parar o caso onde há atrito, a variação de momento linear se dá por:

d L d t = τ g + τ a t

Isso é:

5 3 m R 2 . d 2 θ d t 2 = - m g R s e n θ - b A d θ d t

d 2 θ d t 2 + b . 12 π 5 m . d θ d t + 3 g 5 R θ = 0

A equação acima é equivalente à equação:

d 2 θ d t 2 + γ d θ d t + ω 0 2 θ = 0

A partir dessa equação, podemos reconhecer o fator de amortecimento pois ele é o termo que acompanha o d θ d t :

γ = b . 12 π 5 m

Bom, mas o fator de qualidade é definido por:

Q = ω 0 γ

Sendo ω 0 = 3 g 5 R :

Q = 3 g 5 R b . 12 π 5 m = m 4 π b . 5 g 3 R  

Passo 4

d):

O regime subcrítico ocorre quando γ 2 < ω 0 ou mesmo γ 2 4 < ω 0 2 . Então a gente pode montar a inequação:

144 b 2 π 2 4.25 < 3 g 5 R ↔ R < 5 m 2 g 12 π 2 b 2

Logo:

R m á x = 5 m 2 g 12 π 2 b 2

Resposta

a):

d 2 θ d t 2 + 3 g 5 R s e n θ = 0

b):

ω 0 = 3 g 5 R

c):

Q = m 4 π b . 5 g 3 R  

d):

R m á x = 5 m 2 g 12 π 2 b 2

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