Um canhão de massa M   =   500   k g possui um sistema de recuo, que é formado por uma mola de constante elástica k   =   2000   N / m e um amortecedor com coeficiente de amortecimento r   =   2000   k g / s . No instante t   =   0   s , o canhão dispara um projétil de massa m   =   10   k g com uma velocidade   v 0   =   100   m / s .

(a) Calcule a velocidade do tambor do canhão no momento do disparo?

(b) Determine o tipo de amortecimento (subcrítico, supercrítico ou crítico)? Justifique sua resposta.

(c) Considerando que no instante t = 0 s, o tambor do canhão se encontra na posição x = 0 m, determine a posição em função do tempo x(t) do tambor do canhão.

(d) Determine o tempo que leva para o tambor do canhão atingir o menor valor de x?

(e) Esboce o gráfico de x(t), indicando possíveis extremos dessa função.

Passo 1

A) Por conservação do momento linear do sistema “canhão+projétil”, temos ao longo do eixo do canhão ρ i = ρ f e, portanto

0 = m v o + M v c → v c = - m v o M = - 2 m / s

Passo 2

B) A classificação do regime de amortecimento segue os critérios

γ 2 < ω 0 → R e g i m e   s u b - c r í t i c o

γ 2 > → R e g i m e   s u p e r - c r í t i c o

γ 2 = ω 0 → R e g i m e   c r í t i c o

As constantes γ   e   ω o nesse caso são:

γ = ρ m = 4 s - 1 ;   ω o = k m = 2 r a d s ,

Portanto, o regime de amortecimento é crítico

Passo 3

C) A solução geral para a posição x ( t ) do tambor do canhão no regime de amortecimento crítico é dada por

x t = e - γ t 2 a + b t

de forma que, derivando-se a expressão acima com respeito ao tempo, a velocidade do tambor é

v t = x ˙ t = - γ 2 x t + b e - γ t 2

e as condições iniciais para o problema em questão

x 0 = 0 = a

x ˙ 0 = - 2 m s = - γ 2 x 0 + b = b

A solução final é

x t = - 2 t e - 2 t   m   (t em segundos)

Passo 4

D) O instante em que x ( t )   atinge seu mínimo valor deve corresponder também ao momento em que a velocidade v ( t ) se anula

v t = - 2 e - 2 t + 4 t e - 2 t = 0

v t = 4 t - 2 e - 2 t = 0

t = 0,5   s

A derivada segunda (aceleração) é positiva em t   =   0 ,   5   s , logo, trata-se de um mínimo de x t

a t = 8 - 8 t e - 2 t

t 0,5 = 4 e - 1 m s 2 > 0

Passo 5

E) A função tem uma derivada negativa em t   =   0

x ˙ 0 = - 2 m s

um mínimo em t   =   0 ,   5   s

x 0,5 = - e - 1 m

e vai a zero por valores negativos para tempos grandes

log t → ∞ ⁡ x t = 0   m

Resposta

A)   - 2 m / s

B) 2 r a d s , crítico

C)   x t = - 2 t e - 2 t   m

D) t = 0,5   s

Exercícios de Livros Relacionados

137. Uma máquina de 200k g se apoia sobre quatro suportes no chão, cada um dos quais possui uma constante de mola efetiva k = 250k N / m e um coeficiente de amortecimento viscoso efetivo c = 1000 N ⋅
138. Represente graficamente a resposta x do corpo de 20k g ao longo do intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 1 segundo. Determine os valores máximo e mínimo de x e seus respectivos instantes de tempo. As condiç
Para uma criança em um balanço, a amplitude cai em um fator de 1 e em cerca de oito períodos, se nenhuma energia mecânica adicional for fornecida ao sistema. Estime o fator Q para este sistema.
Para o cilindro do Prob. 8/8, determine o deslocamento vertical x, medido para baixo no sentido positivo em milímetros, a partir da posição de equilibro, em termos do tempo t, em segundos, medido a pa
Em um oscilador amortecido com m = 250 g , k = 85 N / m e b = 70 g / s , qual é a razão entre a amplitude das oscilações amortecidas e a amplitude inicial após 20 ciclos?