Considere um sistema massa-mola, composto por uma mola de constante k e uma massa m 0 , sujeito a força de amortecimento proporcional à velocidade dada por F a = - ρ . d x d t . O sistema está no regime crítico de amortecimento.

  1. Determine. Em função de k e m 0 , o valor da constante ρ .
  2. Sabendo que o sistema parte da posição x 0 com velocidade nula, determine a posição do sistema em função do tempo em termos de k e m 0 .
  3. Se trocarmos a massa do sistema por m 1 = m 0 2 qual será o regime de oscilação do sistema? Justifique.
  4. Sabendo que a com a nova massa o sistema parte da posição x 0 com velocidade nula, determine a posição do sistema em função do tempo em termos de k e m 0 .
  5. Se trocarmos agora a massa do sistema por uma massa m 2 = 2 m 0 qual será o novo regime de oscilação do sistema? Justifique.

Passo 1

a):Vamos montar a equação do movimento:

m 0 a = - k x + F a t

m 0 a = - k x - ρ d x d t

m 0 a = - k x - ρ v

m 0 a + ρ v + k x = 0

a + ρ m 0 v + k m 0 x = 0

Sendo a = x ¨ , v = x ˙ e ω 0 = k m 0  

x ¨ + ρ m 0 x ˙ + ω 0 2 x = 0

Então a equação caraterística é:

r 2 + ρ m 0 r + ω 0 2 = 0

Pro sistema ser crítico, a equação acima precisa ter ∆ = 0 . Então:

b 2 - 4 a c = 0

ρ 2 m 0 2 - 4.1 . ω 0 2 = 0

ρ 2 m 0 = ω 0

Show! Agora basta isolar a paradinha:

ρ = ω 0 2 m 0 = 2 m 0 . k m 0 = 2 m 0 k

Obs.: Se liga, às vezes a gente chama ρ m 0 = γ 0 .

Passo 2

b):

O regime do sistema é o crítico. Pela nossa teoria, a gente sabe que a solução da EDO do movimento pra um regime crítico é:

x t = c 1 + c 2 t e r t

Sendo que r = - γ 0 2 . Então:

x t = c 1 + c 2 t e - γ 0 2 t

Usando as condições iniciais:

x 0 = x 0 → c 1 = x 0

Vamos derivar em relação ao tempo pra encontrarmos a equação da velocidade:

v t = d x t d t = c 2 e - γ o t 2 - γ 0 2 c 1 + c 2 t e - γ 0 2 t

v 0 = 0 → c 2 - γ 0 2 c 1 = 0 → c 2 = γ 0 2 c 1 = γ 0 2 . x 0

c 2 = γ 0 2 . x 0

Então:

x t = x 0 + γ 0 2 . x 0 t e - γ 0 2 t

x t = x 0 1 + γ 0 2 t e - γ 0 2 t

Pela a observação que fizemos na a): γ 0 = ρ m 0 .

Então:

x t = x 0 1 + ρ 2 m 0 t e - ρ 2 m 0 t

Sendo : ρ = 2 m 0 k

Então:

x t = x 0 1 + k m 0 t e - k m 0 t

Passo 3

c):

Vamos calcular ω 1 e γ 1 pra esse novo valor de massa:

ω 1 = k m 0 2 = 2 k m 0 = 2 ω 0

E :

γ 1 = ρ m 0 2 = 2 ρ m 0 = 2 γ 0

Como:

γ 1 2 > ω 1 :

Regime supercrítico.

Passo 4

d):

Agora o regime é supercrítico. A solução será:

x t = c 1 e r 1 t + c 2 e r 2 t

Sendo:

r 1 = - γ 1 2 - β

r 2 = - γ 1 2 + β

Onde o beta é dado por:

β = γ 1 2 4 - ω 1 2

No beta, usando os valores calculados em c):

β = ( 4 γ 0 2 ) 4 - 2 ω 0 2 = γ 0 2 - 2 ω 0 2

Como γ 0 = ρ m 0 = 2 m 0 k m 0 = 2 k m 0 e ω 0 = k m 0 :

β = 4 . k m 0 - 2 . k m 0 = 2 . k m 0

Agora vamos usar as condições iniciais:

x 0 = c 1 + c 2 = x 0

E agora a velocidade inicial (zero):

d x t d t = - c 1 γ 1 2 - β e - γ 1 2 - β t - c 2 γ 1 2 + β e - γ 1 2 + β t

Po, mas a velocidade inicial é zero, então:

v 0 = - c 1 γ 1 2 - β - c 2 γ 1 2 + β = 0

Então temos as duas equações:

c 1 + c 2 = x 0

- c 1 γ 1 2 - β - c 2 γ 1 2 + β = 0

Resolvendo o sistema acima:

c 1 = x 0 2 1 + γ 1 2 β = x 0 2 1 + 2 2

c 2 = x 0 2 1 - 2 2

Ufa! É dose resolver esse sistema, né? Mas agora é só substituir naquela equação do inicio:

x t = x 0 2 1 + 2 2 e - 2 - 2 k m 0 t + 1 - 2 2 e - 2 + 2 k m 0 t

Passo 5

e):

Vamos fazer parecido com a c):

Calculando ω 2 :

ω 2 = k 2 m 0 = ω 0 2 =

E γ 2 2 :

γ 2 2 = ρ 4 m 0 = γ 0 4 = 1 4 . 2 k m 0 = 1 2 k m 0 .

Como γ 2 2 < ω 2 :

Regime subcrítico.

Resposta

a):

ρ = 2 m 0 k

b):

x t = x 0 1 + k m 0 t e - k m 0 t

c):

Regime supercrítico.

d):

x t = x 0 2 1 + 2 2 e - 2 - 2 k m 0 t + 1 - 2 2 e - 2 + 2 k m 0 t

e):

Regime subcrítico.

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