Enunciado

Considere um tubo em formato de “U”, cujos “braços” são dois cilindros verticais de seções transversais circulares de áreas A 1 e A 2 . Ambas extremidades são mantidas abertas. No interior deste tubo coloca-se uma quantidade de líquido cuja massa total e densidade são M e ρ , respectivamente. Este líquido é inicialmente deslocado para fora do equilíbrio , gerando-se um desnível na altura do líquido nos dois braços do “U” mas de forma tal que as superfícies livres sejam mantidas horizontais. A partir de então, o líquido inicia oscilações livres, sob ação da gravidade g . Suponha que a amplitude de oscilação seja pequena comparada com o comprimento do tubo e que as superfícies livres do líquido se movem sempre nas seções puramente verticais do tubo.

  1. Desprezando os efeitos da viscosidade, calcule o período de oscilações do líquido para o caso particular em que A 1 = A 2 .
  2. Ainda desprezando os efeitos da viscosidade, generalize o resultado do item anterior para o caso genérico A 1 ≠ A 2 .
  3. Discuta de maneira qualitativa e em palavras, pelo menos 2 alterações diferentes que devem ocorrer neste movimento oscilatório ao incluirmos os efeitos da viscosidade. Seja conciso em sua resposta.

Passo 1

a):

O pequeno desnível de altura h vai gerar um efeito assim:

Como nesse primeiro caso a as áreas são iguais, o desnível de altura da esquerda vai ser igual ao da direita, só que em um o líquido sobe e no outro o líquido desce.

Então, será gerada um desnível total de 2 h , de um lado pro outro.

Passo 2

Qual a pressão causada por isso? Vai ser:

P = ρ g 2 h = 2 ρ g h

E qual a força que vem dessa pressão? Em uma área, será:

F = P A = 2 ρ g h A

Mas como temos duas áreas, teremos:

F R = 2 F = 4 ρ g h A

Legal! O que você precisa entender aqui é isso: Essa força vai ser a força restauradora do MHS que vai surgir nesse fluido. Como todo o fluido vai oscilar, essa vai ser a força que seria como a força elástica num movimento com uma mola.

Por isso, como fazemos com molas, vamos por um menos na frente da força. Além disso, vamos chamar h = x . Assim, a força vai estar no modelo de uma força elástica.

Então:

F = - 4 ρ g x A

- 4 ρ g x A = M a

a = x ¨

4 ρ g x A = - M x ¨

M x ¨ + 4 ρ g A x = 0

x ¨ + 4 ρ g A M x = 0

Legal, chegamos numa EDO de um MHS. Agora, é só você lembrar que o termo que acompanha o x é a frequência angular ao quadrado:

ω 2 = 4 ρ g A M → ω = 2 ρ g A M

E como:

ω = 2 π T → T = 2 π . 1 ω = 2 π 2 M ρ g A

T = π . M ρ g A

Passo 3

b):

Agora, como as áreas são diferentes, as alturas dos desníveis também serão diferentes:

Assim, a pressão total, pelo teorema de Stevin, será:

P = ρ g h 1 + h 2

Mas, tem como eu escrever h 2 em função de h 1 ? Tem, como o fluido é incompressível, o volume deslocado tem que ser o mesmo. Então a gente pode usar isso:

A 1 h 1 = A 2 h 2   → h 2 = A 1 h 1 A 2

Assim:

P = ρ g h 1 + h 1 . A 1 A 2 = ρ g h 1 . 1 + A 1 A 2

Passo 4

Legal, temos a pressão total. E as forças? Vamos calcular em cada área e somar:

F = F 1 + F 2 = ρ g h 1 . 1 + A 1 A 2 . A 1 + ρ g h 1 . 1 + A 1 A 2 A 2

F = ρ g h 1 A 1 + A 1 2 A 2 + A 2 + A 1

F = ρ g h 1 2 A 1 + A 2 + A 1 2 A 2

Show! Agora é só a gente tratar essa força como uma força elástica, reescrevendo ela assim:

F = - ρ g x 2 A 1 + A 2 + A 1 2 A 2

Passo 5

Agora só seguir aquele caminho:

- ρ g x 2 A 1 + A 2 + A 1 2 A 2 = M a

- ρ g x 2 A 1 + A 2 + A 1 2 A 2 = M x ¨

M x ¨ + ρ g x 2 A 1 + A 2 + A 1 2 A 2 = 0

x ¨ + ρ g M 2 A 1 + A 2 + A 1 2 A 2 x = 0

Então:

ω = ρ g M 2 A 1 + A 2 + A 1 2 A 2

ω = 2 π T → T = 2 π ω = 2 π . M ρ g 2 A 1 + A 2 + A 1 2 A 2

Passo 6

c):

O primeiro efeito é que a viscosidade vai gerar um atrito. Então, o movimento oscilatório deixa de ser um MHS e passa a ser um MHA.

O outro efeito é que a viscosidade pode causar um escoamento não laminar das partículas do fluido. O escoamento passa a ser turbulento, ou seja, não vai se enquadrar naquele capitulo de linhas de fluido da gente.

Resposta

a):

T = π . M ρ g A

b):

T = 2 π . M ρ g 2 A 1 + A 2 + A 1 2 A 2

c):

O primeiro efeito é que a viscosidade vai gerar um atrito. Então, o movimento oscilatório deixa de ser um MHS e passa a ser um MHA.

O outro efeito é que a viscosidade pode causar um escoamento não laminar das partículas do fluido. O escoamento passa a ser turbulento, ou seja, não vai se enquadrar naquele capitulo de linhas de fluido da gente.

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