Dois osciladores de mesma frequência natural ω 0 se movimentam num regime de amortecimento sub-crítico. A massa e o coeficiente de amortecimento do primeiro oscilador são dados por m 1 e ρ 1 , e do segundo oscilador por m 2 e ρ 2 , respectivamente, com m 1 = 4 m 2 e ρ 1 = 2 ρ 2 . Sabendo-se que uma força externa periódica F e x t = F 0   c o s   ( Ω t ) é aplicada a cada um desses osciladores, de forma que tenha um valor inicial diferente de ω 0 e depois é lentamente modificada até que o sistema apresente um comportamento ressonante, qual das seguintes afirmações sobre a amplitude de ressonância é correta:

(a) O pico de ressonância do primeiro oscilador é maior e mais estreito que o do segundo oscilador.

(b) O pico de ressonância do primeiro oscilador é menor e mais largo que o do segundo oscilador.

(c) O pico de ressonância do primeiro oscilador é maior e mais largo que o do segundo oscilador.

(d) O pico de ressonância do primeiro oscilador tem as mesmas características que o do segundo oscilador.

(e) O pico de ressonância do primeiro oscilador é menor e mais estreito que o do segundo oscilador.

Passo 1

Temos uma oscilação forçada com amortecimento sub-crítico. Sua equação diferencial é

x ¨ + γ x ˙ + ω 0 2 x = F 0   c o s ( Ω t )

Onde γ = ρ / m e ω 0 = k / m .

A solução dessa equação é uma oscilação com amplitude

A Ω = F 0 m ω 0 2 - Ω 2 2 + γ 2 Ω 2

Onde o sistema entra em ressonância quando Ω = ω 0 .

Passo 2

O pico de ressonância é mais largo quanto maior for o amortecimento (maior o valor de γ ).

Se compararmos os dois osciladores

γ 1 γ 2 = ρ 1 m 1 ρ 2 m 2

γ 1 γ 2 = 2 ρ 2 4 m 2 ρ 2 m 2 = 1 2

Como γ 2 = 2 γ 1 , então o oscilador 2 tem pico de ressonância mais largo que o oscilador 1.

Passo 3

Na ressonância, a amplitude é

A Ω = ω 0 = F 0 m γ ω 0 2

Comparando os dois osciladores

A 1 A 2 = F 0 / m 1 γ 1 ω 0 2 F 0 / m 2 γ 2 ω 0 2

A 1 A 2 = m 2 γ 2 m 1 γ 1 = m 2 4 m 2 γ 2 γ 1

A 1 A 2 = 1 4 2 = 1 2

Como A 2 = 2 A 1 , então o oscilador 2 tem pico maior que o oscilador 1.

Resposta

(e) O pico de ressonância do primeiro oscilador é menor e mais estreito que o do segundo oscilador.

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