Um objeto de massa M é preso a uma mola de constante elástica k . O sistema, que está sujeito à ação de uma força de amortecimento F a = - ρ x ˙ , é colocado para oscilar.

Sabendo que esse oscilador harmônico amortecido tem fator de qualidade Q = ω 0 / γ = 100 , e sua equação de movimento é dada por x ¨ + γ x ˙ + 25 x = 0 , determine:

  1. A solução da equação de movimento sabendo que x ˙ t = 0 = 3 m / s e que a constante de fase é ϕ = 3 π / 2
  2. Qual é o tempo necessário para que a amplitude do movimento se reduza à metade do seu valor?
  3. Esboce um gráfico do valor médio da energia como função do tempo para uma massa M = 2 K g . Deixe claro as unidades adotadas

Se necessário use ln ⁡ 2 ≈ 0,7

Passo 1

Temos que olhando a equação de movimento do objeto podemos identificar a frequência ω 0

x ¨ + γ x ˙ + 25 x = 0

x ¨ + γ x ˙ + ω 0 2 x = 0

Temos então

ω 0 2 = 25

ω 0 = 5   r a d / s

Passo 2

Pelo fator de qualidade podemos descobrir o γ

Q = ω 0 γ → γ = ω 0 Q = 5 100

γ = 0 , 05   r a d / s

Como o critério

ω 0 > γ 2

é obedecido, temos um amortecimento sub-crítico.

Passo 3

A solução geral é dada por

x t = A e - γ t / 2 cos ⁡ ω t + ϕ

Com

ω = ω 0 2 - γ 2 4 = 25 - 0,0025 4 ≈ 5   r a d / s

Já a velocidade desse objeto é dada por

x ˙ t = - γ 2 A e - γ t 2 cos ⁡ ω t + ϕ - ω A e - γ t 2 sen ⁡ ω t + ϕ

A condição inicial para a velocidade

x ˙ 0 = 3   m / s

E que ϕ = 3 π / 2

- γ 2 A e - 0 cos ⁡ 0 + 3 π / 2 - ω A e - 0 sen ⁡ 0 + 3 π / 2 = 3

- A γ 2 cos ⁡ 3 π 2 + ω s e n 3 π 2 = 3

Como c o s ⁡ ( 3 π / 2 ) = 0 e s e n ( 3 π / 2 ) = - 1 , temos

A ω = 3 → A = 3 ω = 3 5

A = 0,6   m

Passo 4

Assim juntando tudo temos

x t = 0,6 e - 0,025 t cos ⁡ 5 t + 3 π 2

Passo 5

Temos que a amplitude desse momento varia no tempo como

A t = A e - γ t / 2

Para que a amplitude caia a metade temos que A t = A / 2

A 2 = A e - γ t / 2

1 2 = e - γ t / 2

ln ⁡ 1 2 = - γ t 2

- ln ⁡ 2 = - γ t 2

t = 2 ln ⁡ 2 γ = 2 × 0,7 0,05

t ≈ 28 s

Passo 6

No regime subcrítico a energia média decai exponencialmente no tempo

E - t = E - 0 e - γ t

A energia média inicial pode ser dada pela energia inicial

E - 0 = E 0 = 1 2 m ω 2 x 0 2 + 1 2 m x ˙ 2 0

A posição inicial é dada por

x t = 0,6 e - 0,025 × 0 cos ⁡ 0 + 3 π 2 = 0

E a velocidade inicial é dada por (o enunciado já disse!!!)

x ˙ 0 = 3   m / s

Assim

E - 0 = 1 2 m ω 2 0 2 + 1 2 2 × 3 2

E - 0 = 9 J

Assim

E - 0 = 9 e - 0,05 t

(Energia em Joule)

E o esboço do gráfico fica mais ou menos assim

Resposta

  1. x t = 0,6 e - 0,025 t cos ⁡ 5 t + 3 π 2
  2. t ≈ 28 s
  3. Gráfico de decaimento exponencial

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