Um objeto de massa m está preso a uma mola ideal de constante elástica k e se move no eixo O y . Ele também está sujeito a uma força de amortecimento proporcional à velocidade F r = - ρ y ˙ , onde ρ é uma constante positiva. Sobre este sistema, são feitas as seguintes afirmativas:

I. Se ρ < 2 m k , há oscilações.

II. Se ρ > 2 m k , o regime de amortecimento é supercrítico.

III. Como se trata de um oscilador amortecido y ( t ) é sempre decrescente, independente das condições iniciais.

São verdadeiras:

(a) Somente I e II.

(b) Somente II.

(c) Somente II e III.

(d) Somente I.

(e) Somente III.

(f) Somente I e III.

(g) Todas.

(h) Nenhuma.

Passo 1

Vamos analisar todas as alternativas.

A EDO para esse movimento fica

m x ¨ = - k x - ρ x ˙

x ¨ + ρ m x ˙ + k m x = 0

I. Se ρ < 2 m k , há oscilações.

Para haver oscilações o amortecimento deve ser subcrítico! Para amortecimento subcrítico devemos ter:

∆ < 0

E

∆   = b 2 - 4 a c = ρ m 2 - 4 × 1 × k m

∆   = ρ m 2 - 4 k m < 0

ρ m 2 < 4 k m

ρ m < 2 k m

ρ < 2 k m

Então é verdadeira!

Passo 2

II. Se ρ > 2 m k , o regime de amortecimento é supercrítico.

Para amortecimento supercrítico devemos ter:

∆ > 0

Então:

∆   = ρ m 2 - 4 k m > 0

ρ m 2 > 4 k m

ρ m > 2 k m

ρ > 2 k m

Então também é verdadeira.

Passo 3

III. Como se trata de um oscilador amortecido y ( t ) é sempre decrescente, independente das condições iniciais.

Ok, aqui como ele tá falando de função decrescente, nós temos que pensar na derivada. Quando a função é decrescente, a derivada é negativa. Quando é crescente, a derivada é positiva. E y(t) é função do MHA! Vamos lembrar dos gráficos:

Subcrítico

Crítico

Supercritico

Todos esses gráficos tendem pra zero depois de um tempo. Mas todos eles também têm uma parte crescente, de derivada positiva (é só você pensar na reta tangente à curva). Então y ( t ) tem uma parte crescente, e o mesmo vai valer pro módulo! Então a afirmativa é errada.

Alternativa correta: Apenas I e II estão certos.

Resposta

Letra A.

Exercícios de Livros Relacionados

137. Uma máquina de 200k g se apoia sobre quatro suportes no chão, cada um dos quais possui uma constante de mola efetiva k = 250k N / m e um coeficiente de amortecimento viscoso efetivo c = 1000 N ⋅
138. Represente graficamente a resposta x do corpo de 20k g ao longo do intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 1 segundo. Determine os valores máximo e mínimo de x e seus respectivos instantes de tempo. As condiç
Para uma criança em um balanço, a amplitude cai em um fator de 1 e em cerca de oito períodos, se nenhuma energia mecânica adicional for fornecida ao sistema. Estime o fator Q para este sistema.
Para o cilindro do Prob. 8/8, determine o deslocamento vertical x, medido para baixo no sentido positivo em milímetros, a partir da posição de equilibro, em termos do tempo t, em segundos, medido a pa
Em um oscilador amortecido com m = 250 g , k = 85 N / m e b = 70 g / s , qual é a razão entre a amplitude das oscilações amortecidas e a amplitude inicial após 20 ciclos?