Osciladores harmônicos amortecidos costumam ser modelados pela equação diferencial

d 2 x d t 2 + γ d x d t + ω 0 2 x = 0                     ( 1 )

Uma maneira de encontrar as soluções desta equação diferencial é assumir a função tentativa x t = e r t como solução e encontrar quais valores de r que realmente a tornam solução da equação diferencial (1). Fazendo a substituição de x t = e r t em (1), vemos que os valores de r que tornam a função tentativa solução de (1) são:

r 1 = - γ 2 - γ 2 2 - ω 0 2                               e                                 r 2 = - γ 2 + γ 2 2 - ω 0 2                               ( 2 )

Os valores de r levam a três soluções distintas, as quais são classificadas conforme o radicando presnete em r 1 e r 2 seja maior, igual ou menor que zero. Com base nestas informações, escolha a alternativa correta:

a) Todas as três soluções da equação diferencial (1) referentes aos radicandos maior, menor ou igual a zero modelam oscilações, porque toda exponencial de um número real real pode ser expressa em termos de funções periódicas, como senos e cossenos.

b) Na situação onde r assume valores complexos, só a parte real de r tem siginificado físico.

c) O caso onde ω 0 > γ / 2 corresponde ao único caso onde ocorrem oscilações porque podemos expressar x t como uma função periódica.

d) Se a frequência natural ω 0 do sistema for muito maior que o fator dissipativo γ / 2 , a amplitude de oscilação vai aumentando conforme o tempo passa.

e) Quando γ 2 > ω 0 , o oscilador retorna muito mais rapidamente para a posição de equilíbrio do que quando γ 2 = ω 0 .

Passo 1

Fala pessoal, prontos para mais uma questão de MHA?

Essa é uma questão bem interessante pois discute de forma bem geral os três regimes possíveis para um oscilador harmônico amortecido. Vou aproveitar então para fazer uma discussão mais geral sobre o problema e daí vamos olhar para as alternativas, pode ser?

O enunciado apresentou a equação do MHA:

d 2 x d t 2 + γ d x d t + ω 0 2 x = 0

e tentou achar soluções do tipo x t = e r t , caindo na equação algébrica

r 2 + γ r + ω 0 2 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau, obtemos

r 1 = - γ 2 - γ 2 2 - ω 0 2                               e                                 r 2 = - γ 2 + γ 2 2 - ω 0 2

A grande questão aqui é se r 1 e r 2 são reais ou complexos!

Passo 2

O primeiro caso possível é se o termo dentro da raiz for positivo, isto é, se γ 2 > ω 0 . Nessa situação, r 1 e r 2 são reais e distintos e a solução do problema é

x t = A e r 1 t + B e r 2 t = e - γ 2   t   A e - β t + B e β t ,

onde

β = γ 2 2 - ω 0 2

Esse é o chamado amortecimento supercrítico!

Passo 3

O segundo caso possível é se o termo dentro da raiz for nulo, isto é, γ 2 = ω 0 . Assim,

r 1 = r 2 = r = - γ 2

Neste caso, a solução é

x t = A e - γ 2   t + B t e - γ 2   t = e - γ 2   t   A + B t

Esse regime é chamado de amortecimento crítico. Tanto no amortecimento crítico como no supercrítico, as soluções são exponenciais decrescentes que não oscilam, já que r 1 e r 2 são reais!

Passo 4

No terceiro caso (que é o mais interessante), o termo dentro da raiz é negativo: γ 2 < ω 0 . Com isso, r 1 e r 2 são números complexos do tipo

r 1 = - γ 2 - i ω                   e                   r 2 = - γ 2 + i ω ,

onde

ω = ω 0 2 - γ 2 4

Nesse caso, a solução do problema é

x t = A e - γ 2   t cos ⁡ ω t + ϕ

Esse é o regime subcrítico: o único em que ocorre uma oscilação, mas com uma amplitude que decai exponencialmente! A oscilação aparece pois a exponencial de um número imaginário envolve funções periódicas. Para ver isso, basta lembrar da fórmula de Euler:

e i x = cos ⁡ x + i   s e n   x

Aqui eu passei bem por cima das etapas para fazer toda essa discussão, mas isso é feito em detalhe na teoria apresentada aqui no site, se tiver qualquer dúvida vai lá olhar para entender direitinho!

Passo 5

Agora que fizemos toda essa discussão, podemos olhar para as alternativas!

A afirmativa A está errada pois diz que em todos os regimes aparecem oscilações, o que é falso: apenas no caso subcrítico elas aparecem!

A afirmativa B também está errada pois diz que a parte imaginária não tem significa físico, o que é um absurdo, ela que é responsável pela oscilação!

Já a afirmativa C é perfeita: o único caso em que aparecem oscilações é γ 2 < ω 0 pois r 1 e r 2 são complexos!

A afirmativa D fala um absurdo sobre a amplitude aumentar, o que violaria a conservação da energia e a afirmativa E fala um negocinho mais específico mas que também está incorreto: no caso supercrítico o oscilador demora um pouco mais para “parar” que no caso crítico.

De qualquer forma, a alternativa C é muito perfeitinha e essa afirmativa E não deve te confundir. Resposta: alternativa C 😊

Resposta

Alternativa C.

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