Exercícios Resolvidos de Produto Vetorial

Paulo Boulos e Ivan de Camargo e Oliveira, Geometria Analítica: um tratamento vetorial, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987. Pp. 98-20.

Prove que se Equation e Equation então Equation ou Equation . Interprete geometricamente.

Passo 1

Esse exercício requer conhecimentos do produto escalar e do produto vetorial. Bem, o enunciado pede para provarmos que se dizemos que os vetores Equation e Equation então Equation ou Equation .

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Passo 2

Vamos, analisar cada parte, começando por Equation . Do produto escalar temos que:

Equation

Se o enunciado nos diz que Equation , então pela expressão acima temos três possibilidades:

  • O ângulo entre os vetores Equation , ou seja, Equation .
  • Equation
  • Equation
  • Analisando a segunda afirmação Equation e a relação do produto vetorial, temos :

    Equation

  • O ângulo entre os vetores Equation , ou seja, Equation .
  • Equation
  • Equation

Passo 3

Já temos tudo o que podemos concluir com os dados que nos foram dados. Agora como sabemos que a relação entre Equation e Equation é de E, ou seja, é de intersecção, então, concluimos que:

Equation

c.q.d

Falta falarmos da interpretação geométrica do problema. Bom, pensando geometricamente, sabemos que esses vetores não são paralelos entre si e nem formam Equation . Então, poderiam formar qualquer ângulo diferente de Equation . Mas, para satisfazer as duas condições do produto escalar e vetorial, a única possibilidade é a de que um dos vetores seja nulo.

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