1) Calcule os seguintes limites (Não é permitido o uso da regra de l’Hôspital):

c)

lim x → 0 ⁡ 4 x 3 tg ⁡ x - sen ⁡ 2 x

Passo 1

Fala aí, galerinha! Tudo belezinha com vocês?

Bora resolver esse limite juntinhos?

Bom, essa questão deu pra gente um limite para calcular e a primeira coisa que fazemos quando precisamos calcular um limite de uma função é tentar substituir o valor da variável pela sua tendência.

A função que queremos calcular o limite é

lim x → 0 ⁡ 4 x 3 tg ⁡ x - sen ⁡ 2 x

Então vamos tentar substituir esse valor diretamente na função e ver se conseguimos calcular esse limite.

Vem comigo que te ajudo com isso!

Passo 2

Como o limite que queremos calcular é

lim x → 0 ⁡ 4 x 3 tg ⁡ x - sen ⁡ 2 x = 4 ⋅ 0 3 tg ⁡ 0 - sen ⁡ 2 ⋅ 0 = 0 0 - 0

Eita!!! Caímos em uma indeterminação.

Então teremos que mexer nessa função um pouquinho para conseguirmos resolver.

Pra facilitar um pouco nossa vida, podemos invertê-la e tentar calcular o limite da sua inversa. Se der certo, basta inverter novamente e teremos nossa resposta final.

Vamos nessa, então.

Passo 3

Lembrando que a função que queremos calcular o limite é

f x 4 x 3 tg ⁡ x - sen ⁡ 2 x

Vamos fazer:

R x = 1 f ( x )

Assim:

R x = 3 tg ⁡ x - sen ⁡ 2 x 4 x

Que podemos abrir em:

R x = 3 tg ⁡ x 4 x - sen ⁡ 2 x 4 x

E lembrando que tg ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x

R x = 3 4 x sin ⁡ x cos ⁡ x - sen ⁡ 2 x 4 x

Vamos também abrir esse 4 x que está embaixo do sen ⁡ 2 x em 2 ⋅ 2 x . E teremos:

R x = 3 4 x sin ⁡ x cos ⁡ x - sen ⁡ 2 x 2 ⋅ 2 x

Agora, partiu tentar calcular esses limites.

Passo 4

O limite que temos agora é:

lim x → 0 ⁡ R x = lim x → 0 ⁡ 3 4 x ⋅ sin ⁡ x cos ⁡ x - sen ⁡ 2 x 2 ⋅ 2 x

Perceba que ali temos dois limites trigonométricos fundamentais do tipo:

lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u = 1

Que pode ser feito separadamente:

lim x → 0 ⁡ R x = lim x → 0 ⁡ 3 4 cos ⁡ x ⋅ lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x - 1 2 lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 2 x 2 x

Veja a resolução de cada um deles:

lim x → 0 ⁡ 3 4 cos ⁡ x = 3 4 ⋅ cos ⁡ 0 = 3 4

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x = 1

1 2 lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 2 x 2 x = 1 2 ⋅ 1 = 1 2

Juntando esses resultados, ficamos com:

lim x → 0 ⁡ R x = lim x → 0 ⁡ 3 4 cos ⁡ x ⋅ lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x - 1 2 lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 2 x 2 x

lim x → 0 ⁡ R x = 3 4 ⋅ 1 - 1 2 = 1 4

Passo 5

Mas lembra que a gente fez:

R x = 1 f ( x )

Então

lim x → 0 ⁡ f x = 1 lim x → 0 ⁡ R x

Assim:

lim x → 0 ⁡ f x = 1 1 / 4   = 4

E prontinho! Encontramos nossa resposta!

Resposta

lim x → 0 ⁡ 4 x 3 tg ⁡ x - sen ⁡ 2 x = 4

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Calcule o limite, se existir. lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1
Determine o limite infinito.underset(x - pi^-)(lim) cot x
Calcule o limite, se existir. 12 . lim x → - 4 ⁡ x 2 + 5 x + 4 x 2 + 3 x - 4