Um anel de massa m , ligado a duas molas de constantes elásticas iguais a k 1 e k 2 , pode deslizar sem atrito sobre um trilho rígido horizontal, como mostra a figura, na qual está indicado um sistema de eixos O X Y , com O X na direção do trilho. Inicialmente o anel se encontrava em repouso sobre o trilho na posição x = 0 onde as duas molas estão relaxadas. A partir do instante t = 0 o anel passou a sofrer a ação de uma força constante F → , numa direção que faz um ângulo θ com a horizontal, levando o anel a oscilar em torno de um novo ponto de equilíbrio.

  1. Qual a força total que o trilho exerce sobre o anel?
  2. Em que posição é nula a resultante das forças que atuam sobre o anel?
  3. Escreva a energia potencial elástica do sistema em função da coordenada x do anel.
  4. Escreva a energia potencial associada à força constante F → em função da coordenada x do anel.
  5. Expresse o módulo da velocidade do anel em função de sua coordenada x .

Passo 1

Vamos primeiro escrever os dados do enunciado

Dados k 1 k 2 F m g θ

Vamos fazer isso para verificar depois cada resposta para ver se está de acordo com os dados do problema.

Passo 2

a)

Vamos fazer o DCL do corpo. Vamos responder as perguntas do passo a passo para colocar as forças

  1. A massa dele é considerada?
  2. Sim, ele tem massa.

  3. Ela esta encostada em alguma superfície?
  4. Sim, o bloco está em contato com o trilho.

  5. Tem algum fio?
  6. Não, não existe um fio atuando.

  7. Tem mola?
  8. Sim, temos duas molas.

  9. Tem atrito?

Não, não existe atrito.

O seu DCL fica

Tem um detalhe importante a se tocar, o sentido da força elástica. Eu a considerei para a esquerda porque estou considerando x positivo, o que faz a mola 1 ser apertada e a mola 2 ser esticada, ambas querem voltar para o meio. Se estivéssemos considerando x negativo o seu sentido vai ficar invertido.

Essa idéia do sinal da F e l é bem complicada, mas podemos fazer dessa forma simplicada por enquanto.

Passo 3

Voltando ao DCL, vamos fazer o equilíbrio ao longo de y isso porque queremos N que está na vertical

P = N + F y

Devemos encontrar F y usando a “regra do COlado, SEparado”.

F y = F sen ⁡ θ

m g = N + F sen ⁡ θ

N = m g - F sen ⁡ θ

Passo 4

b)

Para acharmos a posição que a força resultante é nula vamos fazer o equilíbrio no e i x o   x , o que muda é a deformação da mola. Como já vimos para o sentido da força elástica ser aquele o x deve ser positivo. Como queremos o equilíbrio ela deve ser assim mesmo. Vamos ignorar isso por enquanto

F e l 1 + F e l 2 = F x

Devemos encontrar F x usando a “regra do COlado, SEparado”.

F x = F cos ⁡ θ

F e l 1 + F e l 2 = F x

k 1 x + k 2 x = F cos ⁡ θ

x k 1 + k 2 = F cos ⁡ θ

x = F cos ⁡ θ k 1 + k 2

Passo 5

c)

Teremos duas energias potenciais elásticas, da mola 1 e da mola 2

U e l = U e l 1 + U e l 2

U e l = k 1 x 2 2 + k 2 x 2 2

Repara que dessa vez escrevi x direto, porque já sabemos que a mola vai se deformar x já que o zero é seu equilíbrio

Passo 6

d)

Considerando que a energia potencial associada a uma força pode se relacionar com o trabalho

W F = - Δ U F

Onde

W F = F x cos ⁡ θ

Pela fórmula de trabalho. Se x for negativo ele faz o trabalho ser negativo, isso vai de acordo com os sinais de trabalho que vimos no capitulo sobre isso.

U F 0 = 0

Porque x = 0 , então

F x cos ⁡ θ = - U F - 0

U F = - F x cos ⁡ θ

Passo 7

e)

Repara que não temos força de atrito, então a energia mecânica se conserva

E m 0 = E m

Onde E m é a energia mecânica em um ponto qualquer

A energia mecânica inicial é zero, isso porque as molas estão relaxadas, não temos velocidade, e o deslocamento em x é zero. Alem disso, teremos

E m = U e l + U F + K

Então

k 1 x 2 2 + k 2 x 2 2 - F x cos ⁡ θ + m v 2 2 = 0

m v 2 2 = - k 1 x 2 2 - k 2 x 2 2 + F x cos ⁡ θ

v 2 = - x 2 k 1 + k 2 m + 2 F x cos ⁡ θ m

v = 2 F x cos ⁡ θ m - x 2 k 1 + k 2 m

Resposta

  1. N = m g - F sen ⁡ θ

  2. x = F cos ⁡ θ k 1 + k 2

  3. U e l = k 1 x 2 2 + k 2 x 2 2

  4. U F = - F x cos ⁡ θ

v = 2 F x cos ⁡ θ m - x 2 k 1 + k 2 m

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