O cabo de um elevador de 20   k N rompe-se, quando ele está parado no primeiro andar. No instante do rompimento, o piso do elevador encontra-se a uma distância d = 3,5   m acima de uma mola amortecedora, cuja constante de mola é k = 150   k N / m . Um sistema de segurança prende os trilhos laterais que servem de guia, de modo que uma força de atrito constante de 4,5   k N opõe-se ao movimento do elevador após o rompimento do cabo. Determine:

b) A deformação máxima da mola;

Passo 1

Ooii gente bonita, tudo bom?

Nessa questão temos um elevador, cujo cabo se rompe, e ele começa a descer. Porém, como está preso nos trilhos laterais, tem tipo um atrito que oferece uma força de resistência constante de 4,5   k N .

Queremos calcular qual a deformação máxima da mola depois que o elevador se chocar com ela.

Podemos usar o teorema da energia cinética:

∑ τ = Δ E C

Nesse caso estarão realizando trabalho a força peso, a força de atrito e a força elástica.

Então vamo nessa!

Passo 2

Vamos começar calculando o trabalho realizado pela força de atrito. Como a força tem um valor constante de 4,5   k N e atua durante todo o deslocamento do elevador:

τ F a t   = - 4,5 ⋅ 10 3 ⋅ d  

Como o elevador desloca-se 3,5   m para chegar até a mola mais a deformação máxima dela, temos:

d = 3,5 + x m

Logo:

τ F a t = - 15,75 ⋅ 10 3 - 4,5 ⋅ 10 3 ⋅ x m

Já para a força peso, temos o seguinte trabalho:

τ P = m g Δ h

Nesse caso:

Δ h = 3,5 + x m

Assim:

τ P = 20 ⋅ 10 3 ⋅ ( 3,5 + x m )

= 70 ⋅ 10 3 + 20 ⋅ 10 3 ⋅ x m  

E, por fim, o trabalho da força elástica será dado por:

τ e l = - k Δ x 2 2

= - 150 ⋅ 10 3 2 ⋅ x m 2

= - 75 ⋅ 10 3 ⋅ x m 2

O sinal de negativo pode ser entendido pela força elástica ser resistiva ao movimento do elevador, ou seja, contribui para a diminuição da sua velocidade.

Tudo tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos igualar o somatório desses trabalhos à variação de energia cinética:

- 15,75 ⋅ 10 3 - 4,5 ⋅ 10 3 ⋅ x m + 70 ⋅ 10 3 + 20 ⋅ 10 3 ⋅ x m - 75 ⋅ 10 3 ⋅ x m 2 = m v f 2 2 - m v 0 2 2

Mas olha, vamos pensar um pouco sobre essas velocidades...

A velocidade inicial é no momento que o cabo se rompe, ou seja, o elevador estava em repouso. Daí:

v 0 = 0 m s

Já a velocidade final ocorre quando a mola atinge a deformação máxima. Se a deformação é máxima, o elevador não desce mais, isso significa que temos a velocidade nula. Ou seja:

v f = 0 m s

Daí, temos:

- 15,75 ⋅ 10 3 - 4,5 ⋅ 10 3 ⋅ x m + 70 ⋅ 10 3 + 20 ⋅ 10 3 ⋅ x m - 75 ⋅ 10 3 ⋅ x m 2 = 0

Dividindo tudo por 10 3 , ficamos com:

- 75 x m 2 + 15,5 x m + 54,25 = 0

Resolvendo a equação por bháskara, chegamos que:

x m = 0,9673   m

Essa é a deformação máxima da mola!

É isso gente, muito obrigado pela atenção 😊

Resposta

0,9673   m

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