Uma bola de massa m é lançada do solo com uma velocidade inicial de módulo v 0 em uma direção que faz um ângulo θ com a horizontal. Durante todo seu movimento ela está sob a ação da força peso e da força de resistência do ar. Observa-se que a bola atinge o ponto de altura máxima h m á x = v 0 2 / ( 5 g ) , com velocidade de módulo v 0 / 3 . Qual o trabalho realizado pela força de resistência do ar entre o lançamento da bola e o instante em que ela atinge a altura máxima?

Passo 1

Temos uma bola em um lançamento oblíquo com uma velocidade v 0 :

Quando a bola atingir a altura máxima ( h m á x ), ela vai ter sua velocidade igual a v 0 / 3 .

Já estamos acostumados que a força peso faz a bola perder velocidade na subida, ou seja, temos energia cinética sendo transformada em energia potencial gravitacional.

Porém, agora temos uma força de resistência do ar que também faz a bola perder velocidade. Ela funciona como uma força de atrito, retirando energia do sistema.

O problema quer que a gente ache o trabalho dessa força de resistência do ar ( W a r ) até o instante que a bola chega em h m á x .

Passo 2

Precisamos achar o trabalho de uma força. O problema deu para a gente tanto a velocidade inicial ( v 0 ) quanto a velocidade final ( v 0 / 3 ) da bola. Com isso a gente consegue calcular a energia cinética inicial e final.

Isso tudo permite a gente aplicar o teorema trabalho-energia cinética:

W F R = ∆ K

Passo 3

Quem vai ser o trabalho total das forças externas?

Vai ser a soma do trabalho da força peso com o trabalho da força de resistência do ar:

W F R = W P + W a r

Mas o trabalho da força peso, nós sabemos calcular já que temos a diferença de altura. Além disso, ele será negativo já que a bola sobe a a força peso aponta para baixo:

W P = - m g ∆ h

Substituindo os dados de massa da bola ( m ) e da diferença de altura ( h m á x ):

W P = - m g h m á x

Então, temos que o trabalho total ( W F R ) é:

W F R = W P + W a r

W F R = - m g h m á x + W a r

Passo 4

Vamos calcular a variação de energia cinética.

∆ K = K f i n a l - K i n i c i a l

A energia cinética é calculada por:

K = m v 2 2

Então:

∆ K = m v f 2 2 - m v i 2 2

∆ K = m v 0 3 2 2 - m v 0 2 2

∆ K = m 2 v 0 2 9 - v 0 2 = m 2 - 8 v 0 2 9

∆ K = - 4 m v 0 2 9

Passo 5

Agora, podemos substituir o que achamos para ( W F R ) e ( ∆ K ) e encontrar o trabalho da resistência do ar ( W a r ):

W F R = ∆ K

- m g h m á x + W a r = - 4 m v 0 2 9

W a r = m g h m á x - 4 m v 0 2 9

Substituindo o valor dado de h m á x :

W a r = m g v 0 2 5 g - 4 m v 0 2 9

W a r = m v 0 2 5 - 4 m v 0 2 9

W a r = 1 5 m v 0 2 - 4 9 m v 0 2

W a r = - 11 45 m v 0 2

Resposta

W a r = - 11 45 m v 0 2

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