Uma partícula de massa m = 2   k g desloca-se ao longo de uma reta. Entre x = 0   m e x = 7   m , ela está sujeita à uma força F ( x ) representada no gráfico da figura 2.20 . Calcule a velocidade da partícula depois de percorrer 4   m e 7   m , sabendo que sua velocidade para x = 0   m é de 3   m / s .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu uma partícula de massa 2   k g que tá percorrendo uma distância de x = 0   m a x = 7   m e sujeita a uma força F , mostrada no gráfico:

Nós precisamos determinar a velocidade da partícula de 0   m a 4   m e depois de 0   m a 7   m . Pra isso, nós temos uma velocidade inicial v 0 = 3   m / s e precisamos nos lembrar de duas coisas: primeiro, que o valor a área abaixo do gráfico da força versus distância é numericamente igual ao trabalho realizado por essa força; segundo, que pelo teorema do trabalho e energia cinética, temos:

W = Δ K

Onde W é o trabalho realizado, que é numericamente igual a área abaixo do gráfico, e Δ K é a variação de energia cinética do sistema, dada por Δ K = m v 2 2 - m v 0 2 2 ( v é a velocidade final e v 0 é a velocidade inicial). A partir daí, conseguimos encontrar a velocidade v da partícula em cada deslocamento considerado.

Vamos lá!

Passo 2

Galera, para determinar a velocidade da partícula depois de percorrer 4   m , vamos começar encontrando a área abaixo da curva de 0 a 4   m . Repare que de 0 a 3   m temos um trapézio de “cabeça para baixo”. Repare que a base maior desse trapézio tem B = 3   m , a base menor tem b = 2   m e sua altura é h = 2   m . Assim, a área do trapézio é dada por:

A T r a p é z i o = B + b h 2 = 3 + 2 2 2 = 5   m 2

E te x = 3   m até x = 4   m , a gente tem um triângulo de base b = 1   m e altura h = 2   m . Então, sua área vai ser dada por:

A t r i â n g u l o = b h 2 = ( 1 ∙ 2 ) 2 = 1   m 2

Então, a nossa área de 0   m a 4   m é dada pela área do triângulo menos a área do trapézio (menos, porque o trapézio tá abaixo do eixo x ). E como o trabalho é numericamente igual a área, vamos ter:

W 0 → 4 m ≡ A 0 → 4 m = 1 - 5 = - 4   J

Assim, pelo teorema do trabalho e energia cinética, temos:

W = m v 2 2 - m v 0 2 2

Substituindo W = - 4   J , m = 2   k g e v 0 = 3   m / s :

- 4 = 2 v 2 2 - 2 ∙ 3 2 2

- 4 = v 2 - 9 → v 2 = 5

Tirando a raiz dos dois lados, temos nossa velocidade:

v = 5   m / s

Passo 3

Agora, para descobrir a velocidade entre x = 0   m e x = 7   m , vamos fazer algo parecido, observando as figuras geométricas que aparecem abaixo do gráfico e calculando suas áreas para obter o trabalho. A gente já sabe que de 0 a 4   m , temos W 0 → 4 m ≡ A 0 → 4 m = - 4   J . De x = 4   m a x = 7   m , temos outro trapézio de base B = 3   m , base menor b = 2   m e altura h = 2 . Assim, a área A 0 → 7 m será:

W 0 → 7 m ≡ A 0 → 7 m = - 4 + 3 + 2 2 2 = 1   J

Assim, usando o teorema do trabalho e energia cinética, temos:

W 0 → 7 m = m v 2 2 - m v 0 2 2

1 = 2 v 2 2 - 2 ∙ 3 2 2

Isolando v :

1 = v 2 - 9 → v 2 = 10

v = 10   m / s

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

v = 5   m / s

v = 10   m / s

Exercícios de Livros Relacionados

Um caixote de 230k g está pendurado na extremidade de uma corda de comprimento L = 12,0m . Você empurra o caixote horizontalmente com uma força variável F → , deslocando-o para o lado de uma distância
Se um carro com uma massa de 1200k g viaja a 120k m / h em uma rodovia, qual é a energia cinética do carro medida por alguém que está parado no acostamento?
A Fig. 7-26 mostra uma vista superior de três forças horizontais atuando sobre uma caixa que estava inicialmente em repouso e passou a se mover sobre um piso sem atrito. Os módulos das forças são F 1=
Uma mola e um bloco são montados como na Fig. 7-9. Quando o bloco é puxado para o ponto x=+ 4,0c m , devemos aplicar uma força de 360N para mantê-lo nessa posição. Puxamos o bloco para o ponto x=11c m
No arranjo da Fig. 7-9, puxamos gradualmente o bloco de x= 0 até x=+3,0c m , onde fica em repouso. A Fig. 7-34 mostra o trabalho que nossa força realiza sobre o bloco. A escala vertical do gráfico é d