Um bloco de massa m está acoplado a uma mola de constante elástica k sobre uma plataforma horizontal, não havendo atrito entre a plataforma e o bloco. A plataforma se encontra inicialmente sendo sustentada a uma altura y 0 em relação ao solo e o bloco estirado de x 0 em relação ao ponto de equilíbrio da mola (ver figura).

Nesta configuração, simultaneamente a plataforma é solta e começa a cair livremente (escorregando pelas hastes sem atrito) e o bloco é solto.

Sendo assim, havendo saído do repouso, o bloco tem dois movimentos: oscila horizontalmente, enquanto cai em queda livre.

Tome x = 0   m a posição de equilíbrio da mola e y = 0   m a posição no solo (tal como no sistema de referência da figura), e g = 10   m / s 2 .

a) Calcule o trabalho total sobre o bloco, devido às forças da mola e da gravidade, desde o ponto de partida até atingir uma altura y B e uma posição horizontal x B .

b) Justifique claramente porquê as forças envolvidas neste movimento são conservativas.

c) Encontre a velocidade escalar do bloco, v , em função de uma altura genérica y e posição horizontal x . Justifique cuidadosamente os passos para chegar a esta expressão.

d) Observa-se que o bloco tem a mesma velocidade escalar quando está em dois pontos distintos: x 1 ,   y 1 = ( 2 m ,   5 m ) e x 2 ,   y 2 = ( 3 m ,   2 m ) . Sabendo que o bloco tem massa m = 2,0   k g , encontre a constante elástica da mola.

Passo 1

a)

O trabalho total é a soma do trabalho realizado pela força da mola e pela força da gravidade.

A força da mola é - k x e a força da gravidade é - m g .

Queremos o trabalho do ponto inicial ( x 0 , y 0 ) até o ponto final ( x B ,   y B ) .

Então o trabalho total é:

W 0 B = ∫ x 0 x B - k x   d x - ∫ y 0 y B m g   d y

⇒ W 0 B = - k ⋅ 1 2 x 2 x 0 x B - m g y y 0 y B

⇒ W 0 B = - k 2 x B 2 - x 0 2 - m g y B - y 0

Passo 2

b)

O trabalho que obtivemos em (a) só depende dos pontos ( x 0 , y 0 ) e ( x B , y B ) , ele não depende da trajetória do bloco entre um ponto e outro. Portanto, as forças envolvidas no movimento são conservativas!

Passo 3

c)

Podemos usar o teorema trabalho-energia cinética, que diz

W t o t a l = Δ E c = m 2 ( v f 2 - v 0 2 )

Vamos aplicar essa fórmula do ponto ( x 0 , y 0 ) até um ponto genérico ( x , y ) , ok?

Pro trabalho total sobre o bloco vamos pegar a expressão que achamos na letra (a) substituindo o ponto ( x B ,   y B ) por ( x , y ) . Assim,

W t o t a l = - k 2 x 2 - x 0 2 - m g y - y 0

Além disso, sabemos que o bloco sai do repouso, então v 0 = 0 .

Passo 4

Show! Então, pelo teorema trabalho-energia cinética, temos

W t o t a l = - k 2 x 2 - x 0 2 - m g y - y 0 = 1 2 m v f 2

A v f é a v que ele pediu, então vamos chamá-la de v mesmo! Então ficou:

- k 2 x 2 - x 0 2 - m g y - y 0 = 1 2 m v ²

⇒   k x 0 2 - x 2 + 2 m g y 0 - y = m v 2

⇒   = k m x 0 2 - x 2 + 2 g y 0 - y = v 2

⇒ v = k m x 0 2 - x 2 + 2 g y 0 - y

Passo 5

d)

Vamos usar a conservação de energia mecânica!

Como todas as forças atuando são conservativas, temos

Δ E m = 0 ,

ou seja a energia mecânica nos pontos x 1 , y 1   e   ( x 2 , y 2 ) são iguais.

E a energia mecânica nada mais é que a soma da energia potencial (gravitacional e elástica) com a energia cinética:

E m = U g + U e l + E c

Então temos

E m 1 = E m 2

⇒ U g 1 + U e l 1 + E c 1 = U g 2 + U e l 2 + E c 2

⇒ m g y 1 + k x 1 2 2 + m v 1 2 2 = m g y 2 + k x 2 2 2 + m v 2 2 2

Passo 6

Mas o enunciado diz que o bloco tem a mesma velocidade escalar nos 2 pontos, ou seja, v 1 = v 2 . Então a energia cinética é a mesma dos 2 lados e podemos cortá-la!

Então a equação fica

m g y 1 + k x 1 2 2 = m g y 2 + k x 2 2 2

Também sabemos as coordenadas dos pontos: x 1 , y 1 = ( 2 ,   5 ) e x 2 , y 2 = ( 3 ,   2 ) .

Substituindo os valores:

5 m g + k ⋅ 2 2 2 = 2 m g + k ⋅ 3 2 2

⇒ 3 m g + 2 k = 9 2 k

⇒ 3 m g = 5 2 k

⇒ k = 2 5 3 m g = 6 5 m g

Como g = 10   m / s 2 e m = 2   k g , isso dá:

k = 6 5 ⋅ 2 ⋅ 10 = 24   N / m

Resposta

a)

W 0 B = - k 2 x B 2 - x 0 2 - m g y B - y 0

b)

O trabalho não depende da trajetória do bloco.

c)

v = k m x 0 2 - x 2 + 2 g y 0 - y

d)

k = 24   N / m

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