6 . Um corpo desliza em um piso horizontal no sentido positivo do eixo x enquanto uma força F x = 6 - 2 x   ( N , m ) age sobre ele. O corpo parte do repouso na posição x 0 = 0   m e se move até ficar momentaneamente em repouso. Determine o valor máximo da energia cinética adquirida pelo corpo e em que posição ela ocorre, determine também, depois de iniciado o movimento em que posição o corpo fica em repouso momentaneamente.

Passo 1

Vem comigo que a gente detona com a questão!

Bem, temos uma força que age sobre o corpo enquanto ele desliza, logo essa força realiza um trabalho sobre esse corpo.

E segundo o teorema do trabalho-energia cinética, temos:

W = Δ K

⇒ W = K - K 0

Como no nosso caso o corpo parte do repouso, temos:

K 0 = 0

Para achar a energia cinética máxima do corpo, temos que achar o trabalho máximo realizado pela força F ( x ) .

Como essa força muda com a distância x , para acharmos o trabalho total que essa força faz de x = 0 , até uma posição x f qualquer, temos que:

W = ∫ 0 x f F ( x ) d x

Tendo a função que nos fornece o trabalho, teremos que encontrar o x f , onde temos esse trabalho máximo.

Para achar a posição onde o corpo fica em repouso momentaneamente, onde temos v = 0 , logo K = 0 , teremos que achar o valor de x f que zera o trabalho.

Passo 2

Vamos achar a expressão para o trabalho W , temos:

W = ∫ 0 x f F ( x ) d x

W = ∫ 0 x f 6 - 2 x d x

⇒ W = 6 x f - x f 2

Com isso temos que:

K = 6 x f - x f 2

Passo 3

Temos então que achar a energia máxima e onde ela ocorre. Para isso vamos usar um truque do cálculo, que é derivar essa expressão e igualar a zero e achar o x f que faz com que isso seja verdade.

Assim teremos a posição onde K é máxima e depois é só jogarmos na expressão que temos para K e achar seu valor. Assim temos:

d K d x = 0 = 6 - 2 x f

⇒ 2 x f = 6

⇒ x f = 3   m

Então essa é a posição que temos K máximo, assim temos que:

K = 6 3 - 3 2

⇒ K = 9   J

Pronto, essa é a energia máxima que o corpo atinge.

Passo 4

Agora vamos atrás da posição onde temos o corpo em repouso, assim:

K = 0 = 6 x f - x f 2

⇒ x f 6 - x f = 0

⇒ 6 - x f = 0

Assim temos que:

x f = 6   m

Pronto! Temos tudo que o enunciado pediu!

Resposta

9   J

3   m

6   m

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