O cabo de um elevador de 20   k N rompe-se, quando ele está parado no primeiro andar. No instante do rompimento, o piso do elevador encontra-se a uma distância d = 3,5   m acima de uma mola amortecedora, cuja constante de mola é k = 150   k N / m . Um sistema de segurança prende os trilhos laterais que servem de guia, de modo que uma força de atrito constante de 4,5   k N opõe-se ao movimento do elevador após o rompimento do cabo. Determine:

c ) A altura que o elevador subirá de volta, a partir da posição inicial da mola relaxada;

Passo 1

Fala aí galera, tudo bom?

Nessa questão temos um elevador, cujo cabo se rompe, e ele começa a descer. Porém, como está preso nos trilhos laterais, tem tipo um atrito que oferece uma força de resistência constante de 4,5   k N .

Vamos pensar um pouquinho no movimento que esse elevador irá realizar.

Inicialmente, ele vai cair até atingir a mola, que será deformada. Em um certo instante, ela atingirá a deformação máxima e passará a empurrar o elevador para cima novamente.

Vimos que essa deformação máxima da mola vale:

x m = 0,9673

Depois de atingir a deformação máxima, o elevador irá perder novamente o contato com a mola e subir até atingir uma altura máxima.

É essa altura máxima que queremos calcular!

Então gente, podemos usar o teorema da energia ciência. Esse teorema diz que:

∑ τ = Δ E C

No caso do nosso elevador, temos apenas duas forças realizando trabalho. A força gravitacional e a força de atrito dos trilhos laterais.

A força elástica é conservativa, assim, como no momento em que o cabo se rompe e no momento em que o elevador atinge a altura máxima ela está relaxada, o saldo do trabalho realiza por ela é nulo.

Show de bola! Vamo nessa!

Passo 2

Vamos calcular o trabalho que cada uma das forças realiza. Começando pela força de atrito.

Como essa força tem um valor constante de 4,5   k N e atua durante todo o deslocamento do elevador, o trabalho será o produto da força por esse deslocamento. Mas, qual o deslocamento total do elevador?

Primeiro ele desce 3,5   m encontrando-se com a mola, depois desse o valor equivalente à deformação máxima da mola, x m , depois sobe novamente o mesmo valor deixando a mola relaxada e atinge uma altura máxima d com relação à extremidade da mola. Ou seja, o deslacamento vale:

3,5 + x m + x m + d

= 3,5 + 2 x m + d

onde d é justamente o que queremos calcular aqui.

Sendo assim, o trabalho da força de atrito (que é negativo pois trata-se de uma força contrária ao movimento), vale:

τ F a t = - 4,5 ⋅ ( 3,5 + 2 x m + d )

= 4,5 ⋅ ( 3,5 + 2 ⋅ 0,9673 + d )

Portanto:

τ F a t = - 24,46 - 4,5 d       ( k N . m )

Já para o trabalho da força peso, como trata-se de uma força conservativa, estamos interessados apenas na diferença de altura entre o instante inicial (cabo se rompe) e final (elevador atinge altura máxima na subida). Logo:

τ P = 20 ⋅ ( 3,5 - d )

∴   τ P = 70 - 20 d     ( k N . m )

Muito bom!

Passo 3

Vamos agora aplicar o teorema da energia cinética.

∑ τ = Δ E C

Logo:

- 24,46 - 4,5 d + 70 - 20 d = m v f 2 2 - m v 0 2 2

Vamos pensar um pouco sobre essas velocidades...

A velocidade inicial corresponde ao momento em que o cabo se rompe, ou seja, o elevador é largado naquele instante. Assim, deve sair do repouso e temos:

v 0 = 0

Já a velocidade final corresponde ao momento em que o elevador atinge a altura máxima. Sempre que temos esses acontecimentos de “deformação máxima”, “altura máxima”, devemos ficar ligados na velocidade. Para que o elevador atinja a altura máxima, a velocidade deve mudar de sentido. Assim, no instante em que a altura é máxima vale:

v f = 0

Portanto, voltando à nossa equação temos:

- 24,46 - 4,5 d + 70 - 20 d = 0

∴ 24,5 d = 45,54

Assim:

d = 1,867   m

E é isso gente, a altura máxima que o elevador irá alcançar é 1,867   m .

Muito obrigado pela atenção de vocês e até a próxima 😉

Resposta

1,867

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