Um objeto de massa m = 0 , 125   k g é largado do repouso de um prédio a uma altura H = 11 , 0   m em relação ao solo. Uma mola ideal foi colocada no solo para suavizar a desaceleração do objeto. Esta mola possui uma constante elástica k e um comprimento h = 1 , 00   m quando não está deformada. Dado: g = 10 , 0   m / s 2 .

(a) Determine o trabalho realizado pela força peso até o instante de contato entre o objeto e a mola.

(b) Desprezando a resistência do ar, qual deve ser a constante elástica da mola para que o objeto pare momentaneamente a uma altura 0 , 500   m em relação ao solo?

(c) Considerando agora o efeito da resistência do ar durante a queda, observa-se que o objeto inicia o contato com a mola a uma velocidade v = 10,0   m / s . Qual é o trabalho realizado pela força de resistência do ar durante a queda até o instante em que o objeto inicia o contato com a mola?

Passo 1

Na letra (a), queremos o trabalho da força peso da posição inicial do objeto (alto do prédio) até a posição onde o objeto atinge a mola.

Podemos calcular o trabalho da força peso com o produto interno da força peso com o deslocamento:

W P = P → ∙ d → = P d c o s θ

Onde o ângulo θ é o ângulo entre os dois vetores.

Mas, ta vendo que esses vetores apontam na mesma direção?

Então:

θ = 0

Ou seja, o produto interno fica apenas o módulo dos dois vetores:

W P = P d c o s 0 = P d 1

W P = m g d

Tá vendo que o sinal deu positivo?

Beleza, isso realmente é para acontecer quando a força está a favor do deslocamento.

Passo 2

Agora, devemos tomar cuidado em quem é esse deslocamento d .

Ele será a diferença entre a altura do prédio H e a altura da mola h .

d = H - h

Logo:

W P = m g H - h

W P = 0 , 125 10 11,0 - 1,0

W P = 12,5   J

Passo 3

Na letra (b), queremos a constante da mola que faça com que o objeto após a queda perca velocidade e pare a uma altura de 0,5   m do chão.

Agora, vamos pensar...

Se desprezamos a resistência do ar, conseguimos achar a velocidade do objeto após a queda de 10   m , posição na qual a mola passa a atuar.

Porém, a força da mola não é constante, ela varia conforme a deformação. Assim, fica mais difícil resolver por cinemática com aquelas equações de movimento.

Uma boa alternativa é pensar em energia...

Durante a queda, apenas a força peso e a elástica atuam sobre o objeto. Como ambas são forças conservativas (não retiram energia do sistema), podemos dizer que a energia mecânica do sistema se conserva.

E M 0 = E M

Assim, podemos relacionar o momento inicial com o momento final considerando as energias envolvidas em cada um deles.

Passo 4

Beleza, vamos considerar como momento inicial, o momento em que o objeto é largado do alto do prédio.

Como ele parte do repouso, sua velocidade é nula, portanto não há energia cinética K 0 . Porém, ele terá uma energia potencial gravitacional U g 0 associada à sua altura H .

E M 0 = U g 0

E M 0 = m g H

Enquanto que o momento final será quando ele finalmente parar pela ação da mola.

Assim, novamente sua energia cinética K será nula, entretanto, ele terá tanto energia potencial gravitacional U g relacionada à sua altura 0,5   m , quanto energia potencial elástica U e l associada à deformação da mola:

E M = U g + U e l

E M = m g 0,5 + k x 2 2

Mas quem será a deformação da mola x ?

Passo 5

Como a mola relaxada tem uma altura de 1   m do chão, se o objeto tem que parar a uma altura de 0,5   m , a mola deformou x :

x = 1,0 - 0,5

x = 0,5   m

Passo 6

Agora, podemos voltar à equação da conservação e achar o valor da constante elástica k da mola que apareceu alí na sua energia potencial:

E M 0 = E M

m g H = m g 0,5 + k x 2 2

k x 2 2 = m g H - 0,5

k = 2 m g H - 0,5 x 2

Vamos substituir os valores:

k = 2 0,125 10 11,0 - 0,5 0,5 2

k = 105   N / m

Putz não tava lembrando dessa unidade de k ...

Só a gente conferir olhando para a fórmula da força elástica:

F e l = k x

k = F e l x

Como a força elástica F e l é dada em Newtons N e a deformação da mola é dada em metros m , nada mais justo que a constante elástica k seja dada em N / m .

Passo 7

Na letra (c), ele diz que há uma resistência do ar.

A resistência do ar, como o próprio nome já diz, é uma força que age contra o movimento, ou seja, retirando energia.

Essa força F R e s acaba realizando um certo trabalho W F R e s e diminuindo a velocidade da bola.

Portanto, a bola chega à mola com uma velocidade menor do que ela teria caso não tivesse resistência do ar.

Beleza, mas como achamos esse trabalho da resistência do ar?

Trabalho de uma força é dado por:

W = F → ∙ d →

Entretanto, apesar de sabermos o deslocamento, não sabemos o módulo da força de resistência do ar F R e s .

Então, temos que pensar em um outro caminho.

Repara que temos a velocidade inicial e final do movimento do objeto. Assim, podemos relacionar o trabalho resultante W R com a variação de energia cinética ∆ K por meio do teorema:

W R = ∆ K

Passo 8

Mas quem é o trabalho resultante?

Ele será a soma de todos os trabalhos sobre o objeto (peso e resistência do ar):

W P + W F R e s = K - K 0

A energia cinética inicial é zero, já que o objeto parte do repouso. Além disso, já calculamos o trabalho da força peso ao longo desse deslocamento e sabemos conseguimos calcular as energias cinéticas a partir das velocidades:

12,5 + W F R e s = m v 2 2

Substituindo o valor da velocidade, temos:

12,5 + W F R e s = 0,125 10 2 2

12,5 + W F R e s = 12,5 2

W F R e s = 12,5 2 - 12,5

W F R e s = - 12,5 2

W F R e s = - 6,25   J

Opaaa, trabalho negativo???

Isso mesmo, lembra que a força age contra o movimento?

Então, seu trabalho será negativo.

Resposta

(a)

W P = 12,5   J

(b)

k = 105   N / m

(c) W F R e s = - 6,25   J

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