Um bloco de 1,2   k g é mantido contra uma mola de massa desprezível cuja constante elástica é k = 2400   N / m e que sofre uma compressão de 0,1   m . O bloco é liberado do repouso no ponto A e a mola projeta o bloco por um plano inclinado ascendente cujo ângulo com a horizontal é 25 º . O bloco atinge o repouso momentâneo no ponto B. Desprezam-se as forças de atrito. Admita que o bloco perca contato com a mola quando esta está relaxada.

  1. Faça um diagrama das forças atuando no bloco em algum momento antes de se desprender da mola.
  2. Utilizando o teorema do trabalho-energia, qual a distância, ao longo do plano inclinado, entre o ponto A e o ponto B?
  3. Quando o bloco desliza de volta para baixo, qual é a sua velocidade no ponto médio do caminho entre A e B? (Dado: utilize s i n ( 25 º ) ~   0.4 se necessário)

Passo 1

Bom galera, antes de começarmos, vamos fazer um desenho geral do problema:

Passo 2

a):

As forças que agem no bloco são:

  1. Força elástica: F e l → = k x →
  2. Peso: P → = m g →
  3. Normal: N → .

A força peso sempre aponta pra baixo, a força elástica tem a direção do plano e a força normal é perpendicular à superfície, então:

Passo 3

b):

Bom, o enunciado nos diz pra gente usar o teorema trabalho-energia nesse caso. Vamos usar a versão desse teorema que temos na nossa teoria:

Δ E m = W não-conservativas

Ou seja, a variação da energia mecânica é igual ao trabalho das forças não-conservativas.

No entanto, a única força não conservativa ali é a normal. E a normal não realiza trabalho, já que é perpendicular à trajetória. Então:

W não-conservativas = 0

∆ E m = 0

Ou seja, como a variação da energia mecânica é zero, ela se conserva.

Então, daqui em diante vamos usar a conservação da energia mecânica pra achar a distância que o enunciado pede.

Passo 4

Bom, conforme a figura:

No instante inicial, a caixa estava em uma altura h 1 e a mola estava contraída em x metros.

Então, a energia mecânica inicial é:

E m i = k x 2 2 + m g h 1

Beleza?

Bom, após a caixa se desprender da mola, ela vai se deslocar um pouco, até parar. Quando ela parar, ela terá atingido uma altura h 2 , e sua energia mecânica será toda potencial gravitacional:

E m f = m g h 2

Como a energia mecânica final é igual à inicial:

m g h 2 = k x 2 2 + m g h 1

m g h 1 - m g h 2 = k x 2 2

h 1 - h 2 = k x 2 2 m g

Vamos chamar essa diferença de altura ai de d :

d = k x 2 2 m g

Mas essa medida é tomada na vertical, já que é uma diferença entre alturas. Nós queremos saber a distância percorrida ao longo do plano inclinado.

Bom, ai é só a gente lembrar que a relação entre essa distância e a distância percorrida no plano é a mesma relação entre cateto e hipotenusa:

Queremos achar D . Só que:

d = D s e n 25 ° → D = d s e n 25 ° = d 0,4 = d 4 10 = 10 4 d = 2,5 d

D = 2,5 d

Então:

D = 2,5 . k x 2 2 m g

Substituindo os valores dados no enunciado:

D = 2,5 2400 . 0,1 2 2.1,2.10 = 2,5 . 2400.0,01 24 = 2,5 . 24 24 = 2,5 m

D = 2,5 m

Passo 5

c):

Bom, essa aqui é bem tranquila, basta a gente usar a conservação da energia entre a altura d e d 2 :

m g d = m g d 2 + m v 2 2

m v 2 2 = m g d 2

v = g d = g k x 2 2 m g = k x 2 2 m

v = 2400.0,01 2.1,2 = 24 2,4 = 10   m / s

v = 10   m / s

Resposta

a):

b):

D = 2,5 m

c):

v = 10   m / s

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