Enunciado

Um bloco de massa m é lançado em um plano inclinado, fazendo um ângulo θ com o solo, com velocidade inicial v 0 . Ele sobe, atinge o ponto mais alto da trajetória, e retorna à posição inicial. Considerando a aceleração gravitacional g e o coeficiente de atrito cinético μ , responda às seguintes questões:

(a) Faça o diagrama de forças que atuam sobre o corpo no início do movimento.

(b) Descreva os valores das forças indicadas no item anterior em termo das variáveis do enunciado.

(c) Qual a distância total percorrida pelo corpo na subida?

(d) Qual o trabalho realizado pela força peso e pela força de atrito ao longo da subida.

(e) Qual o trabalho realizado pela força peso e pela força de atrito ao longo da descida.

(f) Qual a variação da energia cinética no trajeto total do corpo?

Passo 1

Temos um caso de um bloquinho no plano inclinado, o que é bem comum, né?

Porém, o bloquinho agora é lançado com uma velocidade v 0 , ou seja, ele vai subir a rampa até uma determinada altura e descer de volta. Lembrando que a superfície tem atrito.

Então, vambora resolver cada item.

Passo 2

(a) Faça o diagrama de forças que atuam sobre o corpo no início do movimento.

No momento inicial, o movimento do bloquinho é para cima da rampa, então a força de atrito F → a vai estar para baixo na rampa (direção contrária).

Além disso, temos a força peso P → vertical para baixo e a força normal N → perpendicular à superfície do plano inclinado:

Passo 3

(b) Descreva os valores das forças indicadas no item anterior em termo das variáveis do enunciado.

Nós só podemos escrever as forças em função das variáveis ( m , θ , g , μ , v 0 ) . Além disso, os eixos do problema já estão definidos, sendo i ^ paralelo à rampa (para baixo) e j ^ normal à ela.

Começando com a força peso P → , vamos decompor ela em suas componentes:

Assim, podemos dizer que a força peso P → será a soma de suas componentes nas direções dos eixos i ^ e j ^ :

P → = P s e n θ i ^ - P c o s θ j ^

Sabemos que a força P = m g , então:

P → = m g s e n θ i ^ - m g c o s θ j ^

Agora, vamos à força normal N → . Para escrevê-la em função das nossas variáveis, temos que relacioná-la com a componente da força peso na mesma direção.

Se temos um equilíbrio na direção j ^ , podemos dizer que:

N = P c o s θ

N = m g c o s θ

Então, lembrando que ela está no sentido positivo do eixo, achamos que:

N → = m g c o s θ j ^

Por último, vamos à força de atrito F → a , que aponta no sentido positivo de i ^ . Como o bloco está se movendo, a força de atrito é cinética, e tem a expressão:

F a = μ N

Onde μ é o coeficiente de atrito cinético e N é a força normal da superficie ( N = m g c o s θ ) . Logo, temos que:

F → a = μ m g c o s θ i ^

Passo 4

(c) Qual a distância total percorrida pelo corpo na subida?

A gente sabe a velocidade inicial e a aceleração, certo?

O bloquinho vai subir até que sua velocidade chegue a zero, então é só a gente usar aquelas equações de movimento uniformemente variado e achar qual a distância que ele chega até parar.

Já que não temos o tempo, é conveniente usar Torricelli:

v 2 = v 0 2 + 2 a ∆ S

Putzz, não pensei em usar Torricelli! Relaxa, dá pra achar o mesmo resultado por aquelas outras equações:

S = S 0 + v 0 t + a t 2 2 v = v 0 + a t

Mas voltando ao Torricelli, a velocidade final vai ser v = 0 , a velocidade inicial vai ser o próprio v 0 , e o deslocamento vai ser a distância d que queremos achar. Mas e a aceleração?

A aceleração, a gente acha pela segunda lei de Newton:

F R = m a

Lembrando aqui das nossas forças:

As forças em j ^ se anulam, então a força resultante F R será o somatório de forças em i ^ :

P s e n θ + F a = m a

m g s e n θ + μ m g c o s θ = m a

Cortando a massa dos dois lados, temos que a aceleração é:

a = g ( s e n θ + μ c o s θ )

Agora, é só substituir tudo isso no Torricelli, colocando sinais trocados entre a velocidade inicial e a aceleração (sentidos opostos):

v 2 = v 0 2 + 2 a ∆ S

0 = - v 0 2 + 2 g s e n θ + μ c o s θ d

d = - v 0 2 2 g s e n θ + μ c o s θ

A distância percorrida (em módulo) será:

d = v 0 2 2 g s e n θ + μ c o s θ

Passo 5

(d) Qual o trabalho realizado pela força peso e pela força de atrito ao longo da subida.

Tanto a força peso quanto a força de atrito são constantes em todo o deslocamento, então podemos calcular o trabalho pelo produto da força com o deslocamento vezes o cosseno do ângulo entre eles:

W = F . d . c o s α

Trabalho da força peso:

O trabalho da componente do peso em j ^ é nulo, pois apenas a componente da força na direção do deslocamento realiza trabalho. Então, usamos apenas a componente em i ^ :

P s e n θ

Lembrando que o trabalho deve ser negativo, pois a força atua contra o movimento α = 180 ° :

W P = - P s e n θ . d

W P = - m g s e n θ . v 0 2 2 g s e n θ + μ c o s θ

W P = - m s e n θ . v 0 2 2 s e n θ + μ c o s θ

W P = - m v 0 2 s e n θ 2 s e n θ + μ c o s θ

Trabalho da força de atrito:

A força de atrito F a também atua contra o movimento α = 180 ° , então, seu trabalho também será negativo:

W F a = - F a . d

W F a = - μ m g c o s θ v 0 2 2 g s e n θ + μ c o s θ

W F a = - μ m c o s θ v 0 2 2 s e n θ + μ c o s θ

W F a = - m v 0 2 μ c o s θ 2 s e n θ + μ c o s θ

Passo 6

(e) Qual o trabalho realizado pela força peso e pela força de atrito ao longo da descida.

Essa dá pra matar rapidinho. O deslocamento na descida é o mesmo que o deslocamento d na subida, certo?

Além disso, a força peso e a força de atrito vão ter o mesmo valor que antes.

Então, os trabalhos W P e W F a na descida serão iguais em módulo aos trabalhos que calculamos na subida, com uma pequena diferença na análise de sinais.

Trabalho da força peso:

Agora, a forç a está atuando na mesma direção do deslocamento α = 0 ° , então o trabalho será positivo.

W P = m v 0 2 s e n θ 2 s e n θ + μ c o s θ

Trabalho da força de atrito:

Quando o bloco começa a descer, a força de atrito vai trocar de direção, já que ela é sempre contra a tendência de deslizamento.

Então, ela continua atuando contra o movimento α = 180 ° , logo seu trabalho será negativo:

W F a = - m v 0 2 μ c o s θ 2 s e n θ + μ c o s θ

Passo 7

(f) Qual a variação da energia cinética no trajeto total do corpo?

Lembra do teorema trabalho-energia cinética?

Ele diz que a variação da energia cinética é igual ao trabalho das forças externas sobre o corpo.

∆ K = W

O trabalho total vai ser o trabalho da força peso mais o da força de atrito na subida e na descida.

W = W P + W F a

OBS: A força Normal N → não faz trabalho porque é perpendicular ao movimento.

Trabalho da força peso W P :

W P s u b i d a = - W P d e s c i d a

Então, o trabalho total vai ser:

W P = W P s u b i d a + W P d e s c i d a

W P = 0

Trabalho da força de atrito W F a :

W F a = W F a s u b i d a + W F a d e s c i d a

W F a = 2 - m v 0 2 μ c o s θ 2 s e n θ + μ c o s θ

W F a = - m v 0 2 μ c o s θ s e n θ + μ c o s θ

Juntando tudo, temos que:

W = W P + W F a

W = 0 - m v 0 2 μ c o s θ s e n θ + μ c o s θ

W = - m v 0 2 μ c o s θ s e n θ + μ c o s θ

Ou seja, achamos que a variação da energia cinética é:

∆ K = - m v 0 2 μ c o s θ s e n θ + μ c o s θ

Faz sentido, que a variação seja negativa, já que a força de atrito vai dissipando energia ao longo do trajeto.

Resposta

(a)

(b)

P → = m g s e n θ i ^ - m g c o s θ j ^

N → = m g c o s θ j ^

F → a t = μ m g c o s θ i ^

(c)

d = v 0 2 2 g s e n θ + μ c o s θ

(d)

W P = - m v 0 2 s e n θ 2 s e n θ + μ c o s θ

W F a = - m v 0 2 μ c o s θ 2 s e n θ + μ c o s θ

(e)

W P = m v 0 2 s e n θ 2 s e n θ + μ c o s θ

W F a = - m v 0 2 μ c o s θ 2 s e n θ + μ c o s θ

(f)

∆ K = - m v 0 2 μ c o s θ s e n θ + μ c o s θ

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