Um bloco está em repouso sobre um plano inclinado muito longo. A inclinação do plano é de 30 o com a horizontal. Repentinamente uma força impulsiva atua sobre o bloco em direção à base do plano, produzindo uma velocidade inicial de 1,0   m / s . O bloco para após percorrer 50   c m . Qual é o valor do coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano?

Passo 1

Vamos fazer um diagrama do bloco no momento inicial pra visualizar melhor a questão, ok? Podemos definir o eixo x no sentido do plano inclinado, dessa forma o eixo y fica na direção da força normal:

P = m g então com um uma trigonometria básica obtemos

P x = m g sen ⁡ 30 o

P y = m g cos ⁡ 30 o

Como não há deslocamento no eixo y , N e P y se equivalem:

N = P y = m g cos ⁡ 30 o

Passo 2

Uma boa pedida é aplicar o teorema trabalho-energia cinética:

W t o t = Δ K

Primeiro vamos tentar calcular W t o t , o trabalho total aplicado sobre o bloco, beleza?

Mas primeiro precisamos saber o quanto o bloco desceu!

Sabemos que ele andou 50   c m em um plano inclinado de 30 o em relação à horizontal, então ele desceu 50 sen ⁡ 30 o   c m :

Passo 3

Show, vamos calcular o trabalho!

Há 3 forças atuando no bloco: o peso, a normal e a força de atrito.

A normal nós sabemos que não realiza trabalho por ser ortogonal ao sentido de deslocamento do bloco.

O trabalho da força peso é

W p e s o = m g h ,

h sendo a altura que ele desceu, que é 50 sen ⁡ 30 o   c m = 0,5 sen ⁡ 30 o m

Ou seja:

W p e s o = m g ⋅ 0,5 sen ⁡ 30 o   J

Passo 4

A força de atrito é

F → a t = μ c N →

μ c sendo o coeficiente de atrito cinético e N → a força normal.

A força de atrito é contrária ao deslocamento, então o trabalho é negativo:

W a t = - f o r ç a ⋅ d e s l o c a m e n t o

⇒ W a t = - μ c N ⋅ 0 , 5

Vimos lá atrás que N = m g cos ⁡ 30 o , logo:

W a t = - μ c m g cos ⁡ 30 o ⋅ 0,5   J

Portanto,

W t o t = W p e s o + W a t

⇒ W t o t = m g ⋅ 0,5 sen ⁡ 30 o - μ c m g cos ⁡ 30 o ⋅ 0,5

⇒ W t o t = 0,5 m g sen ⁡ 30 o - μ c cos ⁡ 30 o

⇒ W t o t = 1 2 m g sen ⁡ 30 o - μ c cos ⁡ 30 o

Passo 5

Agora vamos calcular a diferença de energia cinética!

A velocidade inicial do bloco é v i = 1,0   m / s então sua energia cinética inicial K i é:

K i = 1 2 m v i 2 = m 2   J

E o bloco termina o movimento no repouso, portanto sua energia cinética final K f é nula.

Então

Δ K = K f - K i = - m 2   J

Passo 6

Ótimo! Finalmente podemos aplicar o teorema trabalho-energia cinética:

W t o t = Δ K

Substituindo o que achamos antes:

⇒ 1 2 m g sen ⁡ 30 o - μ c cos ⁡ 30 o = - m 2

⇒ g sen ⁡ 30 o - μ c cos ⁡ 30 o = - 1

⇒   sen ⁡ 30 o - μ c cos ⁡ 30 o = - 1 g

⇒ sen ⁡ 30 o + 1 g = μ c cos ⁡ 30 o

⇒ μ c = sen ⁡ 30 o + 1 g cos ⁡ 30 o

⇒ μ c = tan ⁡ 30 o + 1 g cos ⁡ 30 o

Passo 7

Temos

sen ⁡ 30 o = 1 2   e   cos ⁡ 30 o = 3 2 ⇒   tan ⁡ 30 o = 1 3

Obs: se você quiser, pode substituir pelos valores que e o enunciado dá, tipo cos ⁡ 30 o = 0,866 mas eu acho que nem ajuda muito.

Além disso, podemos também substituir g = 10   m / s 2 , o que dá:

μ c = 1 3 + 1 10 ⋅ 3 2

⇒ μ c = 1 3 + 1 5 3

⇒ μ c = 5 + 1 5 3

⇒ μ c = 6 5 3 ≈ 0,692

Resposta

μ c = 6 5 3 ≈ 0,692

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