Exercícios Resolvidos de Teorema Trabalho-Energia Cinética

PUCRIO-Física I-Prova 2-2013.2-Questão n°1

Um corpo de massa m = 4,0   k g move-se apenas sobre o eixo x . Na origem, sua velocidade vale v i = 4,0   m / s , e o gráfico a seguir mostra a variação da força resultante que atua sobre o corpo.

a ) Qual a energia cinética do corpo, e qual a sua velocidade em x = 8,0   m ?

b ) Responda, justificando, para que valor de x a energia cinética do corpo é máxima? Quanto vale sua velocidade aí?

c ) Para qual (ou quais) valor(es) de x a velocidade instantânea do corpo vale 5,0   m / s ?

Passo 1

Quando temos um gráfico de força por deslocamento, devemos sempre lembrar que a área abaixo da curva é igual ao trabalho!

a )

Para calcular a energia cinética em x = 8,0   m , precisamos utilizar o teorema do trabalho e energia cinética, ele nos diz:

W = Δ K

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para calcular o trabalho, precisamos calcular a área abaixo da curva entre 0 e 8,0 :

Teremos o triângulo, entre 0 e 4 :

A 1 = 20 . 4 - 0 2 = 40

E o trapézio entre 4 e 8 :

A 2 = 8 - 4 + 8 - 6 . 10 2 = 30

O trabalho será então:

W = A 1 - A 2 = 10   J

Lembrando que curvas abaixo do eixo, como A 2 , contribuem negativamente!

Passo 3

Voltando à equação da variação de energia, temos:

W = Δ K = K 8 - m . v i 2 2

Onde K 8 é a energia cinética do corpo em x = 8,0   m . Substituindo os valores conhecidos, temos:

10 = K 8 - 4,0 .   4,0 2 2

K 8 = 10 + 32 = 42   J

Agora que temos a energia cinética, determinar a velocidade é fácil, se liga!

K 8 = m . v 8 2 2

Substituindo os valores, temos:

42 = 4,0 .   v 8 2 2

v 8 = 21 = 4,6   m / s

Passo 4

b )

Pelo teorema do trabalho e energia cinética, podemos ver que a variação da energia cinética será positiva, ou seja ela irá aumentar até quando o trabalho for positivo. Desse modo, podemos ver pelo gráfico que isso ocorrerá até x = 4,0   m , que é onde o trabalho passa de positivo para negativo.

Já calculamos, no item a , o trabalho realizado de 0   a t é   4, ele vale W = 40   J . Pelo teorema, temos:

W = Δ K

W = m . v 4 2 2 - m . v i 2 2

Substituindo os valores, temos:

40 = 4,0 . v 4 2 2 - 4,0 .   4,0 2 2

v 4 = 36 = 6   m / s

Passo 5

c )

Para determinar os valores de x em que a velocidade instantânea é 5,0   m / s vamos utilizar o mesmo teorema, só que agora faremos um caminho um pouco diferente. Temos a velocidade, ou seja, podemos calcular a variação da energia cinética. E com isso encontraremos para que valor de trabalho temos essa variação. Se liga!

W = Δ K

W = m . 5,0 2 2 - m . v i 2 2

Substituindo os valores conhecidos, temos:

W = 4,0 . 5,0 2 2 - 4,0 .   4,0 2 2 = 18   J

Ou seja, os pontos em que a velocidade instantânea é 5,0   m / s , são aqueles em que o trabalho é 18   J .

Passo 6

Sabemos que existe um ponto desses entre 0 e 4 , pois em x = 4   m , o trabalho vale 40   J . Utilizaremos novamente a área, sabendo que seu valor deve ser 18 .

Para qualquer valor antes de x = 4   m , a área abaixo da curva será a de um trapézio. Para achar o valor de x , precisamos determinar e quação da curva, pois somente dessa maneira teremos a base menor do trapézio, se liga!

Para determinar a equação da curva, é só substituir dois ponto, desse modo, acharemos:

F x = 20 - 5 x

A área do trapézio será dada por:

A = 20 + 20 - 5 x . x 2

Igualando a 18 , temos:

18 = 40 . x - 5 . x 2 2

5 . x 2 - 40 . x + 36 = 0

Acharemos como solução dessa equação, os valores:

x = 1,03   m   o u   6,97   m

Desses valores, somente x = 1,03   m é válido, pois depois de x = 6,0   m , o comportamento da curva muda.

Passo 7

Vamos agora analisar a existência de um ponto onde o trabalho seja 18   J depois de x = 4,0   m . Sabemos que a partir de x = 6,0   m , o comportamento da curva muda, em x = 6,0   m , temos que o trabalho é:

W = 40 - 6 - 4 . 10 2 = 30   J

Depois de x = 6,0   m , a área será dada por um retângulo, precisamos então, achar para que valor de x , a área desse retângulo será igual a 12 , pois 30 - 12 = 18 !

A = x - 6 . 10

Igualando a 12 , temos:

12 = x - 6 . 10

x = 7,2   m

Pronto, temos que a velocidade instantânea do corpo será igual a 5,0   m / s para os eguintes valores de x :

x = 1,03   m

x = 7,2   m

Resposta

a ) K 8 = 42   J ; v 8 = 4,6   m / s

b ) v 4 = 6   m / s

c ) x = 1,03   m ; x = 7,2   m

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