Um grande bloco de massa 500   k g se movimenta horizontalmente através de uma distância total de 100   m sobre um piso com atrito a partir do repouso. Um trator empurra o bloco durante os primeiros 80   m com uma força variável, descrita pelo gráfico abaixo:

Dado: g = 10,00   m / s 2 (capa da prova)

(a) Calcule o trabalho total realizado pelo trator sobre o bloco.

(b) Ao final dos 100 𝑚, o bloco chega ao repouso. Encontre o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o piso.

(c) Ache a velocidade do bloco na posição 𝑥=80 𝑚.

Passo 1

Temos um bloco sendo empurrado por um trator que exerce uma força F x ao longo do trajeto.

Na letra (a), queremos o trabalho do trator sobre o bloco nesses primeiros 80   m nos quais o bloco anda sobre ação da força F .

Passo 2

Para achar o trabalho do trator sobre o bloco, podemos pensar em calcular a partir de:

W = F . ∆ x

Onde o ∆ x é o deslocamento.

Porém, qual seria o módulo de F que colocaríamos na fórmula?

Como a força varia ao longo do trajeto, teríamos que encontrar um valor médio de F .

Então, é melhor usar uma outra estratégia para calcular o trabalho de uma força variável. Vamos usar a nossa queridinha (só que não) integral:

W = ∫ F d x

Calma, não se assuste com a integral, ela não morde. Na verdade, só um poquinho de vez em quando hahah.

A ideia da integral é calcular para cada valor de F o trabalho exercido sobre o bloco em um deslocamento muito pequenininho d x e somar tudo isso que no final temos o trabalho total ao longo do trajeto.

Passo 3

Mas, fica tranquilo, como a integral têm o mesmo valor da área abaixo do gráfico, podemos simplesmente calcular essa área total A T que conseguimos o valor de W .

W F = A T

Então, vamos dividir aquela área alí em um trapézio e um retângulo para facilitar:

A área total será a soma dessas duas áreas:

A T = A 1 + A 2

A T = B + b 1 h 1 2 + b 2 . h 2

O B e b 1 são as bases maior e menor do trapézio, b 2 é a base do retângulo, enquant h 1 (horizontal) e h 2 (vertical) são as alturas:

A T = 4 × 10 3 + 1 × 10 3 40 2 + 40 4 × 10 3

A T = 20 5 × 10 3 + 160 × 10 3

A T = 100 × 10 3 + 160 × 10 3

A T = 260 × 10 3

A T = 2,6 × 10 5

Então, achamos o trabalho do trator sobre o bloco:

W F = A T

W F = 2,6 × 10 5   J

Passo 4

Na letra (b) queremos, o coeficiente de atrito entre o chão e o bloco.

Mas como achamos isso?

Precisamos primeiro saber o valor da força de atrito F a t atuando no bloco para depois achar o coeficiente de atrito μ :

F a t = μ N

E como achamos essa força de atrito?

Passo 5

Podemos tentar usar aquela informação que achamos na letra (a), afinal quase sempre as questões pedem coisas que estão relacionadas com o item anterior, né.

Você concorda comigo que se o bloco começou em repouso e terminou em repouso, nesse meio tempo, o trabalho (energia) que o trator fez sobre o bloco tem que ser o mesmo trabalho (energia) que a força de atrito “tirou” desse sistema?

Essa é a ideia daquele teorema trabalho-energia cinética:

W R = ∆ K

Se a variação de energia cinética foi nula entre o instante inicial e final, temos que:

W R = 0

W F + W F a t = 0

W F a t = - W F

W F a t = - 2,6 × 10 5   J

Beleza, vamos partir disso agora.

Passo 6

Como a força de atrito está contra o deslocamento, seu trabalho será negativo, além disso a força é constante em todo o trajeto, então podemos escrever seu trabalho como:

W F a t = - F a t ∆ x

Logo:

- F a t ∆ x = - 2,6 × 10 5  

F a t ∆ x = 2,6 × 10 5

μ N ∆ x = 2,6 × 10 5

Passo 7

Quem vai ser essa força Normal N ?

Como o bloco está em equilíbrio vertical, podemos dizer que a força normal vale a mesma coisa que a força peso:

N = P

N = m g

Então:

μ m g ∆ x = 2,6 × 10 5

Vamos substituir os valores que temos:

μ 500 10 100 = 2,6 × 10 5

μ 5 × 10 5 = 2,6 × 10 5

μ = 2,6 5

Achamos que o coeficiente de atrito é:

μ = 0,52

Passo 8

Na letra (c), queremos a velocidade do bloco na posição x = 80   m , ou seja, depois que a força F terminou de exercer aquele trabalho W F que calculamos na letra (a).

Novamente, podemos aplicar o teorema trabalho-energia cinética:

W R = ∆ K

Mas agora, conseguimos calcular os trabalhos das forças e queremos achar a energia cinética final, assim, encontramos a velocidade do bloco.

Passo 9

Como o bloco parte do repouso, sua energia cinética inicial é zero:

K 0 = 0

Então, a soma dos trabalhos W F com W F a t será igual a:

W F + W F a t = K - 0

Passo 10

Vamos calcular o trabalho da F a t durante o deslocamento de 0 à 80   m :

W F a t = - F a t ∆ x

W F a t = - μ m g ∆ x

W F a t = - 0,52 500 10 80

W F a t = - 2,08 × 10 5   J

Passo 11

Jogando o valor do W F a t e de W F na nossa expressão, temos:

W F + W F a t = K

2,6 × 10 5 + - 2,08 × 10 5   = K

K = 0,52 × 10 5

Agora, vamos descobrir a velocidade v :

m v 2 2 = 0,52 × 10 5

500 v 2 2 = 5,2 × 10 4

v 2 = 208

v = 208

v = 14,4   m / s

Resposta

(a)

W F = 2,6 × 10 5   J

(b)

μ = 0,52

(c)

v = 14,4   m / s

Exercícios de Livros Relacionados

Um caixote de 230k g está pendurado na extremidade de uma corda de comprimento L = 12,0m . Você empurra o caixote horizontalmente com uma força variável F → , deslocando-o para o lado de uma distância
Se um carro com uma massa de 1200k g viaja a 120k m / h em uma rodovia, qual é a energia cinética do carro medida por alguém que está parado no acostamento?
A Fig. 7-26 mostra uma vista superior de três forças horizontais atuando sobre uma caixa que estava inicialmente em repouso e passou a se mover sobre um piso sem atrito. Os módulos das forças são F 1=
Uma mola e um bloco são montados como na Fig. 7-9. Quando o bloco é puxado para o ponto x=+ 4,0c m , devemos aplicar uma força de 360N para mantê-lo nessa posição. Puxamos o bloco para o ponto x=11c m
No arranjo da Fig. 7-9, puxamos gradualmente o bloco de x= 0 até x=+3,0c m , onde fica em repouso. A Fig. 7-34 mostra o trabalho que nossa força realiza sobre o bloco. A escala vertical do gráfico é d