Um objeto de massa m = 1,00   k g desliza na direção do eixo-x positivo em uma superfície com coeficiente de atrito cinético μ C = 0,250 . O objeto tem uma velocidade v → C = 3,00   ( i ^ )   m / s quando colide de forma perfeitamente inelástica com uma mola quando ela está no seu ponto de equilíbrio (relaxada). A mola tem uma constante elástica k = 50,0   N / m . Durante a compressão da mola o atrito é desprezível. O objeto para momentaneamente, depois de comprimir a mola uma distância d . O objeto é então forçado pela mola a se mover na direção do eixo-x negativo junto com a mola passando de novo pelo ponto de equilíbrio até parar momentaneamente a uma distância D deste ponto. Considere o objeto como uma massa pontual. Utilize conservação de energia nas respostas abaixo. Justifique seus cálculos.

Dados: g = 10   m / s 2

a) Calcule o trabalho sobre o objeto desde o momento em que ele encosta na mola até parar momentaneamente.

b) Determine a distância d que a mola foi comprimida até parar momentaneamente.

c) Determine a velocidade v → quando o objeto passa pela posição de equilíbrio na volta, isto é se movendo na direção do eixo-x negativo.

d) Lembre que na volta a mola fica presa no objeto. Determine a distância D que a mola foi distendida até parar momentaneamente.

Passo 1

O enunciado diz que existe atrito, porém ele é desprezível no trecho de compressão da mola.

Na letra (a), queremos o trabalho sobre o objeto desde quando ele enconsta na mola até parar.

Podemos utilizar o Teorema Trabalho-Energia Cinética:

W R = ∆ K

W R = K f - K i

A energia cinética final é nula, pois o bloco está parado:

W R = 0 - m v 2 2

W R = - m v 2 2

Então, basta substituirmos os valores, para encontrar o trabalho realizado sobre o bloco:

W R = - 1 3 2 2

W R = - 4,5   J

Passo 2

Agora na letra (b), queremos a distância até o bloco parar.

Vamos usar o mesmo teorema que usamos no item anterior:

W R = ∆ K

W R = - m v 2 2

Quais são as forças atuando sobre o bloco?

Então, o trabalho resultante será a soma do trabalho de cada uma dessas forças:

W P + W N + W F e l = - m v 2 2

O bloco se desloca na horizontal. Como P → e N → são perpendiculares ao deslocamento, elas não geram trabalho:

0 + 0 + W F e l = - m v 2 2

Enquanto isso, a força elástica F → e l (para esquerda) está contrária ao deslocamento do bloco (para direita), então seu trabalho será negativo.

O trabalho da força elástica é dado pela expressão:

W F e l = k x 2 2

Se o deslocamento até o bloco parar foi igual a d , temos:

0 + 0 - k d 2 2 = - m v 2 2

d 2 = m v 2 k

d = v m k

d = 3 1 50

d = 0,424   m

Passo 3

Na letra (c), queremos o vetor velocidade v → quando o bloco volta à posição de equilíbrio.

Pensa comigo...

Não há atrito nesse trecho de ida e volta da mola até o ponto de equilíbrio, certo?

Então nenhuma energia foi dissipada.

O que aconteceu foi que a energia cinética inicial foi convertida em energia potencial elástica até que o bloco chegou na compressão máxima da mola e parou.

Depois disso, a energia potencial elástica foi convertida novamente em energia cinética do bloco conforme a mola foi sendo distendida.

Então o bloco voltou a ter a mesma energia cinética e portanto o mesmo módulo da velocidade inicial v → , com a única diferença no sentido do vetor.

Agora o bloco está voltando no sentido negativo do eixo-x, então a sua velocidade é:

v → = - 3,00   i ^   m / s

Passo 4

Na letra (d), queremos a distância D que a mola foi distendida até que o bloco pare momentaneamente.

Agora, muito cuidado!

Estamos na região onde o atrito deve ser considerado.

Felizmente, podemos usar o mesmo teorema que usamos antes, com a única diferença que agora existe um trabalho da F a t também.

W R = ∆ K

W P + W N + W F e l + W F a t = K f - K i

Dá uma olhada nas forças atuando sobre o bloco agora.

O deslocamento do bloco é para a direita ( d → ).

A mola está sendo esticada então a força elástica está puxando o bloco.

A força de atrito está contra o delizamento, então também está para a direita.

Passo 5

As forças peso e normal são perpendiculares ao deslocamento e por isso não geram trabalho:

0 + 0 + W F e l + W F a t = K f - K i

O trabalho da força elástica será negativo, pois essa força está contrária ao deslocamento. Além disso, a deformação da mola será a distância D :

- k D 2 2 + W F a t = K f - K i

O trabalho da força de atrito também será negativo, pois essa força está contrária ao deslocamento. E será dada por:

- k D 2 2 - F a t D = K f - K i

- k D 2 2 - μ C N D = K f - K i

Passo 6

Como há um equilíbrio na vertical, a força normal é igual ao peso:

N = m g

Então:

- k D 2 2 - μ C m g D = K f - K i

Passo 7

Agora, vamos às energias cinéticas.

A energia cinética final K f será nula pois é o momento em que o bloco para.

E a energia cinética inicial será aquela quando o bloco tem velocidade v que calculamos no item (c):

- k D 2 2 - μ C m g D = 0 - m v 2 2

k D 2 2 + μ C m g D = m v 2 2

Mãos à obra! Vamos substituir os valores.

50 D 2 2 + 0,25 1 10 D = 1 3 2 2

Multiplicando tudo por 2 :

50 D 2 + 5 D - 9 = 0

Isso mesmo, vamos ter que usar aquele famoso Bháskara para resolver essa equação de segundo grau.

Passo 8

Vamos achar as raízes.

50 D 2 + 5 D - 9 = 0

Calculando o :

∆ = b 2 - 4 a c

∆ = 5 2 - 4 50 - 9

∆ = 25 + 200 9

∆ = 1825

Então, temos:

D = - b ± ∆ 2 a

D = - 5 ± 1825 100

D 1 = 0,377   m D 2 = - 0,477   m  

Como estamos procurando um número positivo, temos:

D = 0,377   m

Resposta

(a)

W R = - 4,5   J

(b)

d = 0,424   m

(c)

v → = - 3,00   i ^   m / s

(d) D = 0,377   m

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