Parte I

Uma caixa de massa m = 400 g é levantada verticalmente (eixo 𝑦) do solo a partir do repouso por um motor através de um cabo ideal fixado na caixa. A força de tração é dada pela função T y = ( - a y 2 + b y + c ) , onde a = 1   N / m 2 ; b = 4,0   N / m ; c = 5,0   N . O motor funciona somente no intervalo y = 0,0   a   5,0 m , ao fim do qual é desligado, deixando de produzir a tração. Use as leis da dinâmica e de energia para calcular o que for pedido. Use g = 10   m / s 2 .

(a ) Calcule o trabalho realizado pela tração do cabo desde o solo até o motor desligar.

(b ) Faça um diagrama de forças na subida. Obtenha o valor da velocidade da caixa no instante em que ela alcança 5,0   m de altura.

Parte II

Revistas automobilísticas em 2016 citam carros superesportivos elétricos capazes de partir do repouso e atingir a velocidade de 96,6   k m / h   propulsionados por dois motores elétricos e baterias elétricas, em menos de 3 s . Sites de internet especializados mencionam uma potência equivalente a 779 H P para um veículo com 2350   k g . Estimativas de perdas de energia devido a processos internos entregam uma potência útil equivalente a 85 % da potência original para o movimento do automóvel.

Encontre a força instantânea gerada pela potência útil ao atingir essa velocidade.

Passo 1

Parte I

Calcularemos o trabalho realizado pela tração do cabo.

Sabendo que o trabalho da força T ( y ) é calculado da seguinte maneira:

W T =   ∫ i f T ( y ) d y

Como a força começa a atuar na posição 0   ( i = 0 ) e deixa de atuar na posição 5 m   ( f = 5 m ) , teremos:

W T =   ∫ 0 5 ( - a y 2 + b y + c ) d y ⇒ W T =   ∫ 0 5 - 1 y 2 + 4 y + 5 d y ⇒ W T - 1 3 y 3 + 2 y 2 + 5 y 0 5

W T = - 1 3 5 3 + 2 5 2 + 5.5 - 0 = 33,3   J

Passo 2

Traçando o diagramada das forças de subida e calculando a velocidade da caixa a 5,0   m :

Diagrama de Forças:

Estão atuando sobre a caixa a força que o cabo exerce ( T ) e a força peso ( P ) .

Cálculo de Velocidade em y = 5,0   m

Do Teorema Trabalho e Energia Cinética temos que:

∑ W =   ∆ K

Na situação pedida, temos:

W T + W P =   K f - K i  

No passo anterior calculamos W T . Agora, basta determinarmos W P para encontrarmos a velocidade final.

Cálculo de W P

W P = m g h = 0,4   .   10   .   5 = 20   J

Sabendo que a força peso atua contrária ao movimento do bloco, consideramos seu trabalho negativo.

Como a velocidade inicial é nula (o corpo parte do repouso), a energia cinética inicial também é nula   ( K i = 0 ) .

Assim:

33,3 - 20 = 0,4 . v f 2 2 - 0   ⇒ v f =   33,3 - 20 0,2 ⇒ v f = 8,17   m / s

Passo 3

Parte II

Calcularemos a força instantânea gerada pela potência útil.

P ú t i l = F v

Calculando a potência útil ( P ú t i l ) , teremos:

P ú t i l = 0,85 . P T o t a l

Sabendo que 1 H P =   746   W , converteremos a potência total ( P T o t a l ) .

P T o t a l = 779   x   746 = 581134   W

Logo,

P ú t i l = 0,85   x   581134 =   493963,9   W  

Assim, calcularemos a força:

v = 96,6 3,6 = 26,8   m / s

P ú t i l = F v   ⟹ F = P ú t i l v = 493963,9 26,8 = 18408,6   N   ⟹ F =   1,8   x   10 4   N    

Resposta

P a r t e   I

a )   W =     33,3   J

b )   v =   8,17   m / s

P a r t e   I I

F = 1,8   x   10 4   N

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No arranjo da Fig. 7-9, puxamos gradualmente o bloco de x= 0 até x=+3,0c m , onde fica em repouso. A Fig. 7-34 mostra o trabalho que nossa força realiza sobre o bloco. A escala vertical do gráfico é d