O anel de resistência elétrica R , contido no plano x y , é constituído por um condutor elástico, o que possibilita variações de seu raio r .

Durante o intervalo de tempo 0 ≤ t < r 0 / α o raio do anel diminui segundo a equação r t = r 0 - α t , onde α > 0 é constante. O campo magnético B → = B 0 k ^ presente na região é uniforme e ortogonal ao plano x y .

Nas perguntas abaixo considere o tempo t apenas no intervalo 0 ≤ t < r 0 / α .

a ) Determine a força eletromotriz induzida no anel em função de t .

b ) Calcule a corrente induzida no anel e determine o seu sentido (horário ou anti-horário).

c ) Calcule o campo magnético produzido pela corrente induzida no centro O do anel. Se você não resolveu o item b deixe sua resposta em função da corrente induzida I i n d .

Passo 1

a ) Determine a força eletromotriz induzida no anel em função de t .

A força eletromotriz induzida no anel é dada pela lei de Faraday:

ε = - ∂ ϕ B ∂ t

Onde o fluxo magnético é dado por:

ϕ B = B 0 π r t 2

Substituindo a expressão de r t dada pelo problema, teremos:

ϕ B = B 0 π r 0 - α t 2

Voltando para a expressão de ε , teremos:

ε = - ∂ ∂ t B 0 π r 0 - α t 2

ε = 2 B 0 π r 0 - α t α

Passo 2

b ) Calcule a corrente induzida no anel e determine o seu sentido (horário ou anti-horário).

Agora que já calculamos a f e m induzida, a nossa vida ficou um pouco mais fácil.

I i n d = ε R

I i n d = 2 B 0 π α R r 0 - α t

Passo 3

O sentido da corrente é determinado pela lei de Lenz, que diz que:

O sentido de qualquer efeito de indução magnética é tal que ele se opõe à causa que produz esse efeito.

É o seguinte... se o fluxo magnético está aumentando, a corrente induzida gerará um campo magnético no sentido contrário ao fluxo (nesse caso, a corrente estaria no sentido horário), querendo “atrapalhar” o fluxo.

Se o fluxo magnético está diminuindo, a corrente induzida gerará um campo magnético no mesmo sentido do fluxo (nesse caso, a corrente estaria no sentido anti-horário), querendo “ajudar” o fluxo.

Aqui, como o campo magnético é uniforme e constante e o raio está diminuindo com o tempo (logo, a área também está diminuindo), o fluxo magnético está diminuindo, logo, a corrente induzida está no sentido anti-horário.

Passo 4

c ) Calcule o campo magnético produzido pela corrente induzida no centro O do anel. Se você não resolveu o item b deixe sua resposta em função da corrente induzida I i n d .

Podemos calcular o campo magnético através da lei de Biot-Savart, dada por:

B → = μ 0 4 π ∫ corpo   I d l → × r ^ r 2

Onde os vetores d l → e r ^ estão representados abaixo:

Daqui podemos tirar que d l → × r ^ = d l   z ^ = r t d θ   z ^ .

Logo, substituindo na expressão de B → , teremos:

B → O = μ 0 I i n d 4 π ∫ 0 2 π r t d θ r t 2   z ^

B → O = μ 0 I i n d 4 π r t ∫ 0 2 π d θ   z ^

B → O = 2 π μ 0 I i n d 4 π r t z ^

B → O = μ 0 I i n d 2 r t z ^

Pra finalizar, temos apenas que substituir a expressão que encontramos para I i n d .

B → O = μ 0 2 r t 2 B 0 π α R r 0 - α t z ^

B → O = μ 0 r t B 0 π α R r 0 - α t z ^

Como r t = r 0 - α t , teremos:

B → O = μ 0 r 0 - α t B 0 π α R r 0 - α t z ^

B → O = μ 0 B 0 π α R z ^

Resposta

a )

ε = 2 B 0 π r 0 - α t α

b )

I i n d = 2 B 0 π α R r 0 - α t

A corrente induzida está no sentido anti-horário.

c )

B → O = μ 0 B 0 π α R z ^

Exercícios de Livros Relacionados

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Um condutor cilíndrico longo com raio R e comprimento L conduz uma corrente I . Determine o fluxo magnético por unidade de comprimento através da área indicada na Figura 28-44.
44- Variação no campo magnético. Você está testando um novo sistema de captura de dados. Esse sistema permite registrar um gráfico da corrente em um circuito em função do tempo. Como parte do teste, v