Considere uma espira retangular de lado maior a e de lado menor b , situada no plano xy (veja figura abaixo). Aplica-se um campo magnético externo que varia no tempo de acordo com a expressão B e x t t = B 0 t 2   k , onde B 0 é uma constante dada em T / s 2 e t é o tempo em s .

(a) Calcule a magnitude do fluxo magnético, | ϕ ( t ) | , através da espira.

(b) (1,0 ponto) Qual é o sentido da corrente induzida na espira (horário ou anti-horário)? Justifique sua resposta!

(c) (0,5 ponto) Supondo que a espira tenha resistência R , calcule a magnitude da corrente induzida, I i n d , em um instante t qualquer.

Passo 1

Cara, nesse problema daqui vamos ter que...

  1. Na letra A, calcular o fluxo ϕ do campo magnético B e x t dentro da espira. O que pode ser feito usando a definição de fluxo...
  2. ϕ = ∬ S   B e x t ⋅ n →   d A

  3. Na letra B, já vamos ter que definir o sentido da corrente na espira o que pode ser feito usando a lei de Lenz.
  4. Na letra C, por sua vez teremos que primeiro encontrar a f e m   ε induzida na espira (usando a Lei de Faraday) e depois calcularmos a corrente por lei de Ohm...

I i n d = ε R

Vamos nessa?

Passo 2

L e t r a   A :

Cara, repare que a nossa espira possui uma região S plana onde o vetor de direção da área d A (vetor n → perpendicular a área), no caso tem o sentido da direção z ^ ...

Então, podemos dizer que...

n → = z ^

Ou ainda...

n → = 1   k

Logo, o produto escalar entre o campo magnético B → e o vetor normal n → ...

B → ⋅ n → = B 0 t 2   k ⋅ 1   k   →

B → ⋅ n → = B 0 t 2 ⋅ 1   →

B → ⋅ n → = B 0 t 2

Logo, a integral de superfície se resume a uma...

ϕ = ∬ S   B → ⋅ n →   d A   →

ϕ = ∬ S   B 0 t 2   d A   →

ϕ = B 0 t 2 ∬ S   d A   →

ORA! A integral de d A , de acordo com a nossa teoria de calculo, representa a área da superfície S (do retângulo de lado a e b )...

ϕ = B 0 t 2   a b

Logo, a magnitude do fluxo é...

ϕ t = a b B 0   t 2

Passo 3

L e t r a   B :

Ora... Aqui temos que discutir um pouquinho sobre a Lei de Lenz...

A lei de Lenz nos fala que em uma espira imersa em um campo magnético externo cujo fluxo varia com o tempo t , surge na espira uma corrente de modo que o campo magnético induzido por essa corrente se opõe a variação do fluxo externo.

Então, se na nossa espira temos um fluxo de um campo externo que aumenta na direção positiva do eixo z , a corrente induzida tem que ser de modo que reduza esse fluxo, ou seja, ela deve circular no sentido horário. Assim, pela regra da mão direita...

O fluxo induzido terá sentido para dentro (em - z ^ ) e portanto ele vai se opor ao variação externa, como nos diz Lenz, saca?

Passo 4

L e t r a   C :

Com o fluxo do campo magnético calculado, podemos então determinar a força eletromotriz ε pela derivada da Lei de Faraday...

ε = d ϕ d t   →

ε = d d t a b B 0   t 2   →

ε = 2 a b B 0   t

Logo, a corrente induzida em função do tempo será...

I i n d = ε R   →

I i n d = 2 a b B 0   t R   →

Como ele nos pede o módulo da corrente em um instante qualquer, vamos pegar no instante t = 1 s ...

I i n d = 2 a b B 0   R

Resposta

Letra A:

ϕ t = a b B 0   t 2

Letra B: Sentido Horário pela Lei de Lenz.

Letra C:

e m   t = 1 s       →       I i n d = 2 a b B 0   R

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Um condutor cilíndrico longo com raio R e comprimento L conduz uma corrente I . Determine o fluxo magnético por unidade de comprimento através da área indicada na Figura 28-44.
44- Variação no campo magnético. Você está testando um novo sistema de captura de dados. Esse sistema permite registrar um gráfico da corrente em um circuito em função do tempo. Como parte do teste, v