Usando o polinômio de Taylor de ordem 2, calcule o valor aproximado de:

l n ⁡ ( 1,2 )

Passo 1

O primeiro passo é encontrarmos o polinômio de Taylor de ordem 2 para l n ⁡ ( x ) . Esse polinômio pode ser encontrado usando a função aí embaixo, em que f ' x 0 e f ' ' x 0 são os valores da derivada primeira e segunda, respectivamente no ponto x 0

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 x - x 0 2 2 !

Passo 2

Vamos então calcular a primeira e segunda derivada dessa função dada no enunciado.

f ' x = 1 x

f ' ' x = - 1 x 2

Substituindo temos:

P x = ln ⁡ x 0 + 1 x 0   x - x 0 - 1 x 0 2     x - x 0 2 2

Note que o ponto x 0 não foi dado. Mas aí qual é a ideia do problema quando isso acontece? O grande bizu aqui é você pegar um valor de x 0 próximo daquele que está dentro da sua função dada no enunciado. Tipo, nesse problema temos l n ⁡ ( 1,3 ) ou seja, temos um x = 1 , 2 . Então, podemos pegar um valor próximo de 1 , 2 e usar a série de Taylor pra obter o valor aproximado de l n ⁡ ( 1 , 2 ) . A preferência é pegar um valor que você vá conhecer. Nesse caso, vou escolher x 0 = 1 , porque l n ⁡ ( 1 ) eu sei que é zero!

Passo 3

Para x 0 = 1 , temos:

P x = 0 + 1 x - 1 - x - 1 2 2

P x = x - 1 - 1 2   x 2 - 2 x + 1

P x = x - 1 - x 2 2 + x - 1 2

Agora que encontramos o polinômio, o que a gente deve fazer?

Agora, no lugar de x , vamos substituir pelo ponto de x = 1,2 que é o argumento do l n dado no enunciado.

P 1,2 = 1,2 - 1 - 1,2 2 2 + 1,2 - 1 2

P 1,2 = 0,182

Resposta

P 1,2 = 0,182

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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
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Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0