(a) Determine o polinômio de Taylor de ordem n da função f x = e x em torno de x 0 = 0 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar o polinômio de Taylor de ordem n da função f x = e x em torno de x 0 = 0 . A expressão geral do polinômio de Taylor tem a forma:

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + f n x 0 n ! x - x 0 n

Então, o que nós vamos fazer é derivar a função f ( x ) , aplicar o ponto x 0 = 0 e substituir na forma do polinômio.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas de f x = e x :

f ' x = e x

f ' ' x = e x

f ' ' ' x = e x

f n x = e x

Então, a derivada de f x = e x vai ser sempre igual a e x .

Passo 3

Para f x 0 = f ( 0 ) , temos:

f 0 = e 0 = 1

E isso também vai se repetir nas derivadas:

f n 0 = e 0 = 1

Então, para todo n natural e positivo e todo x pertencente aos reais, no polinômio de Taylor de ordem n :

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + f n x 0 n ! x - x 0 n

Teremos:

P x = 1 + x + x 2 2 ! + ⋅ ⋅ ⋅ + x n n !

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

P x = 1 + x + x 2 2 ! + ⋅ ⋅ ⋅ + x n n !

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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo ⁡ P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0