Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 de f em torno de x 0

c o s ( x ) em torno de 0

Passo 1

O primeiro passo é encontrarmos o polinômio de Taylor de ordem 5 . Esse polinômio pode ser encontrado usando a função aí embaixo, em que f ' x 0 , f ' ' x 0 , f ' ' ' x 0 , f ' ' ' ' x 0 e f ' ' ' ' ' x 0 são os valores da derivada primeira, segunda, terceira, quarta e quinta, respectivamente no ponto x 0

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 x - x 0 2 2 ! + f ' ' ' x 0 x - x 0 3 3 ! + f ' ' ' ' x 0 x - x 0 4 4 ! + f ' ' ' ' ' x 0 x - x 0 5 5 !

Passo 2

Vamos então calcular a primeira e segunda derivada dessa função dada no enunciado, que seria c o s ( x ) .

f ' x 0 = - s e n x 0

f ' ' x 0 = - cos ⁡ x 0

f ' ' ' x 0 = s e n x 0

f ' ' ' ' x 0 = cos ⁡ x 0

f ' ' ' ' ' x 0 = - s e n x 0

Substituindo temos:

P x = cos ⁡ x 0 - s e n x 0   x - x 0 - cos ⁡ x 0 x - x 0 2 2 ! + s e n x 0 x - x 0 3 3 ! + cos ⁡ x 0 x - x 0 4 4 ! - s e n x 0 x - x 0 5 5 !  

Podemos rearranjar esse rolê aí e escrever:

P x = s e n x 0 x - x 0 3 3 ! - x - x 0 - x - x 0 5 5 ! + cos ⁡ x 0 1 - x - x 0 2 2 ! + x - x 0 4 4 !

Note que o ponto x 0 foi dado, então aqui vamos precisar substituir x 0 = 0

Passo 3

Para x 0 = 0 , temos:

P x = s e n 0 ⏟ 0 x 3 3 ! - x - x 5 5 ! + cos ⁡ 0 ⏟ 1 1 - x 2 2 ! + x 4 4 !

Resolvendo, vamos ter ao final:

P x = 1 - x 2 2 + x 4 24

Lembrando que os valores fatoriais são descritos como:

2 ! = 2 × 1

3 ! = 3 × 2 × 1

4 ! = 4 × 3 × 2 × 1

5 ! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1

Resposta

P x = 1 - x 2 2 + x 4 24

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