Determine o polinômio de Taylor de grau 2 da função f x = sen ⁡ x 2 no ponto x = 0 .

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer é achar as derivadas até ordem 2 da função f x :

f ' x = cos ⁡ x 2 . 2 x = 2 x cos ⁡ x 2

f ' ' x = 2 cos ⁡ x 2 + 2 x - sen ⁡ x 2 . 2 x = 2 cos ⁡ x 2 - 4 x 2 sen ⁡ x 2

Agora temos que achar essas derivadas no ponto que ele deu, além da própria função:

f 0 = sen ⁡ 0 2 = 0

f ' 0 = 2.0 . cos ⁡ 0 2 = 0

f ' ' 0 = 2 cos ⁡ 0 2 - 4.0 2 . sen ⁡ 0 2 = 2

Passo 2

Agora temos que achar cada termo da função:

f 0 = 0

f ' 0 x 1 1 ! = 0

f ' ' 0 x 2 2 ! = 2 x 2 2 = x 2

Passo 3

O polinômio vai ficar:

P 2 x = 0 + 0 + x 2

P 2 x = x 2

Resposta

P 2 x = x 2

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D e t e r m i n eop o l i n ô m i od eT a y l o r ,d eo r d e m2 ,d efe mv o l t ad ex 0d a d o . ô sen ⁡ x e x 0 = 0
D e t e r m i n eop o l i n ô m i od eT a y l o r ,d eo r d e m2 ,d efe mv o l t ad ex 0d a d o . ô f x = cos ⁡ x e x 0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo ⁡ P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0