Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 da função f x = x x em torno de x 0 = 1 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar o polinômio de Taylor de ordem 5 da função f x = x x em torno de x 0 = 1 . A expressão geral do polinômio de Taylor tem a forma:

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + f n x 0 n ! x - x 0 n

Então, para ordem 5 , vamos ter:

P x = f 1 + f ' 1 x - 1 + f ' ' 1 2 x - 1 2 + f ' ' ' 1 3 ! x - 1 3 + f 4 1 4 ! x - 1 4 + f 5 1 5 ! x - 1 5

Sendo assim, o que nós vamos fazer é calcular a derivada de f ( x ) até a quinta ordem e depois aplicar x 0 = 1 e substituir na equação do polinômio.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas de f x = x x e aplicando x 0 = 1 nas funções:

f x = x 3 → f 1 = 1

f ' x = f ' x 3 = 1 3 x 2 3 → f ' 1 = 1 3

f ' ' x = f ' ' 1 3 x 2 3 = - 2 9 x 5 3 → f ' ' 1 = - 2 9

f ' ' ' x = f ' ' ' - 2 9 x 5 3 = 10 27 x 8 3 = sen ⁡ x → f ' ' ' 1 = 10 27

f 4 x = f 4 10 27 x 8 3 = - 80 81 x 11 3 → f 4 1 = - 80 81

f 5 x = f 5 - 80 81 x 11 3 = 880 243 x 14 3 → f 5 1 = 880 243

Passo 3

Agora é só substituir na equação do polinômio de Taylor de ordem 5 :

P x = f 1 + f ' 1 x - 1 + f ' ' 1 2 x - 1 2 + f ' ' ' 1 3 ! x - 1 3 + f 4 1 4 ! x - 1 4 + f 5 1 5 ! x - 1 5

Assim, temos:

P x = 2 + 1 3 x - 1 + - 2 9 2 x - 1 2 + 10 27 6 x - 1 3 + - 80 81 24 x - 1 4 + 880 243 120 x - 1 5

P x = 2 + 1 3 x - 1 + - 1 9 x - 1 2 + 5 81 x - 1 3 - 10 243 x - 1 4 + 22 729 x - 1 5

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

P x = 2 + 1 3 x - 1 + - 1 9 x - 1 2 + 5 81 x - 1 3 - 10 243 x - 1 4 + 22 729 x - 1 5

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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo ⁡ P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0