Mostre que

a) sin ⁡ x - x ≤ x 3 3 ! ,   ∀   x ∈ R

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que o erro da função f x = sin ⁡ x quando aproximado por P x = x é menor ou igual a x 3 3 ! . Isso porque, para a segunda ordem, o erro associado pode ser escrito na forma:

f x - P ( x ) ≤ E ( x )

Onde E ( x ) é o erro dado por:

E x = f ' ' ' x 3 ! x - x 0 3

Consegue perceber as semelhanças com o que foi dado? Podemos ver que é uma aproximação do erro para ordem 2 , com x 0 = 0 . Assim, para demonstrar, devemos primeiro calcular as derivadas da função f x = sin ⁡ x até a ordem 2 . Depois aplicar o ponto x 0 = 0 e substituir no polinômio de Taylor de ordem 2 :

f x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando as derivadas de f x = sin ⁡ x :

f ' x = cos ⁡ x

f ' ' x = - sin ⁡ x

Agora vamos aplicar x 0 = 0 nas derivadas e para f ( x 0 ) :

f 0 = sin ⁡ 0 = 0

f ' 0 = cos ⁡ 0 = 1

f ' ' 0 = - sin ⁡ 0 = 0

Passo 3

Agora podemos substituir tudo no polinômio de Taylor de ordem 2 :

f x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 x - x 0 2

f x = 0 + 1 x - 0 + 0 2 x - 0 2

E nosso polinômio fica:

P x = x

Passo 4

Feito isso, devemos avaliar o erro E ( x ) :

E x = f ' ' ' x - 3 ! x - x 0 3

Por isso, vamos derivar f ' ' ( x ) = - sin ⁡ x encontrada no passo 2 , substituir na fórmula e arbitrar x - = 0 :

f x - P ( x ) ≤ E ( x )

f ' ' ' x = - cos ⁡ x

Então,

sin ⁡ x - x ≤ 1 3 ! x 3

Como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

sin ⁡ x - x ≤ 1 3 ! x 3

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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
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Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0