Use o seguinte roteiro para provar que e é irracional.

( a ) Use a Fórmula de Taylor com resto de Lagrange para provar que, para cada número inteiro n ≥ 1 , temos

e = 1 + 1 1 ! + 1 2 ! + . . . + 1 n ! + R n ,

onde R n satisfaz 0 < R n < 3 ( n + 1 ) ! .

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos que demonstrar que o número e é irracional, e para isso as alternativas irão nos dando uma série de passos, o primeiro é

( a ) Use a Fórmula de Taylor com resto de Lagrange para provar que, para cada número inteiro n ≥ 1 , temos

e = 1 + 1 1 ! + 1 2 ! + . . . + 1 n ! + R n ,

onde R n satisfaz 0 < R n < 3 ( n + 1 ) ! .

Vamos relembrar a fórmula de Taylor com resto de Lagrange que tem a forma

R n ( x ) = f ( x ) - P n ( x ) = f ( x ) - ∑ k = 0 n f ( k ) ( a ) k ! ( x - a ) k

em que o teorema do Resto de Lagrange indica que

| R n ( x ) | ≤ M ( n + 1 ) ! | x - a | n + 1

Vamos tentar resolver isso!

Passo 2

Para obter a forma do polinômio de Taylor de uma constante é bastante prático considerar uma função que seja o número elevador à x , em nosso caso temos a bela vantagem de termos como resultado a função

f ( x ) = e x

cujas derivadas é ela própria! Desta maneira, se escrevermos o polinômio em torno de a = 0 , obtemos que

f ( x ) = 1 + 1 1 ! ( x ) 1 + 1 2 ! ( x ) 2 + . . . + 1 k ! ( x ) k + R n

note que se fizermos x = 1 , temos que

f ( 1 ) = e

e, portanto

e = 1 + 1 1 ! + 1 2 ! + . . . + 1 k ! + R n

Vamos analisar agora o limite sobre o resto!

Passo 3

Temos que o resto de lagrange da função f ( x ) = e x em torno de a = 0 , é tal que

| R n ( x ) | ≤ M ( n + 1 ) ! | x | n + 1

se x = 1 , isso se torna

| R n | ≤ M ( n + 1 ) !

Mas quem é M ?? M é um valor escolhido tal que obedece a seguinte desigualdade

| f ( n + 1 ) ( x ) | ≤ M  

escrevendo a nossa função, temos que

| e x | ≤ M

com x = 1 , obtemos simplesmente o vínculo

| e | ≤ M

ou seja, o menor inteiro que obedece a desigualdade é M = 3 , portanto, temos que

| R n | ≤ 3 ( n + 1 ) !

de forma que podemos garantir que

0 ≤ R n ≤ 3 ( n + 1 ) !

O primeiro passo do roteiro foi esse! Vamos para o próximo!

Resposta

Ao longo dos passos!

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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo ⁡ P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0