Mostre que o polinômio de Taylor, de qualquer ordem,

Parte1: de c o s ( x ) é sempre uma função par

Parte 2: e que o polinômio de Taylor de s i n ( x ) , de qualquer ordem, é sempre uma função ímpar.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

lembrando de como é o polinômio de Taylor de sexta ordem em zero

P n = f 0 + f ' 0 x + f ' ' 0 2 ! x 2 + f ' ' ' 0 3 ! x 3 + f ' v 0 4 ! x 4 + f v 0 5 ! x 5 + f v i 0 6 ! x 6

Sendo assim, precisamos encontrar os valores de derivada, aplicar em zero e montar nosso polinômio! Depois disso é só verificar a paridade de cada função!

Sabemos que uma função é par quando

f x = f ( - x )

Mas e o que isso tem a ver com o polinômio? Isso vai acontecer quando as potências do nosso polinômio forem todas pares! Assim trocar o sinal não vai alterar em nada o valor da função!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Começando com o cosseno: f x = cos ⁡ x

E em x = 0 :

f 0 = 1

Agora vamos derivar e aplicar em zero sucessivas vezes

f ' x = - sin ⁡ x ; f ' 0 = 0

f ' ' x = - cos ⁡ x ; f ' ' 0 = - 1

f ' ' ' x = sin ⁡ x ; f ' ' ' 0 = 0

f i v x = cos ⁡ x ; f ' v 0 = 1

f v x = - sin ⁡ x ; f v 0 = 0

f v i x = - cos ⁡ x ; f ' 0 = - 1

Você percebe que apenas as derivadas de ordem par sobrevivem?

É isso! O cosseno é uma função par porque apenas as potências pares são diferentes de zero!

Substituindo no polinômio temos

P n = f 0 + f ' 0 x + f ' ' 0 2 ! x 2 + f ' ' ' 0 3 ! x 3 + f ' v 0 4 ! x 4 + f v 0 5 ! x 5 + f v i 0 6 ! x 6 - …

cos ⁡ x = 1 - 1 2 x 2 + 1 24 x 4 - 1 720 x 6 - …

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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D e t e r m i n eop o l i n ô m i od eT a y l o r ,d eo r d e m2 ,d efe mv o l t ad ex 0d a d o . ô f x = cos ⁡ x e x 0 = 0
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