(b) Avalie e com erro, em módulo, inferior a 10 - 5 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar uma aproximação para e de modo que o erro seja:

E n 1 < 10 - 5

Isso porque é como se tivéssemos f x = e x aplicado em x = 1 . Como o polinômio de Taylor de ordem n para f x = e x é dado por P x = 1 + x + x 2 2 ! + ⋅ ⋅ ⋅ + x n n ! , existe um Teorema que nos diz que o erro é dado por:

e 1 - P n ( 1 ) = e - ( 1 + 1 + 1 2 + 1 3 ! + 1 4 ! + … + 1 n !

De forma que e 1 - P n ( 1 ) = E n ( 1 ) = f n + 1 c n + 1 ! , para algum c no intervalo [ 0 ,   1 ] , onde se chega a relação:

e - ( 1 + 1 + 1 2 + 1 3 ! + 1 4 ! + … + 1 n ! ≤ 3 n + 1 !

Isso tudo é pra dizer que se nós precisamos encontrar um erro inferior a 10 - 5 , vamos precisar usar a relação:

3 n + 1 ! < 10 - 5

Vamos lá!

Passo 2

Como precisamos que 3 n + 1 ! < 10 - 5 , ou:

n + 1 ! > 3 10 5

Então, por tentativa, precisamos encontrar um n que somado a 1 , tenha o fatorial maior que 3 10 5 . Fazendo n = 8 , nós vamos ver que:

8 + 1 ! = 362880 > 3 10 5

Portanto, essa é a nossa resposta.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

E n 1 < 10 - 5     p a r a   n = 8

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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo ⁡ P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0