Mostre que

b) 0 ≤ e x - 1 + x + x 2 2 < x 3 2 ,   ∀   x ∈ [ 0 ,   1 ]

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente mostrar que a série de Taylor para exponenciais é maior ou igual a zero e menor do que x 3 2 no intervalo [ 0 ,   1 ] .

A série de Taylor para exponenciais é:

e x = 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + … ,   - ∞ < x < ∞

Mas como 0 ≤ x ≤ 1 , temos e x ≥ 0 . Ou seja, o resultado da nossa exponencial vai ser sempre um número positivo. Então, vamos manipular a expressão acima até chegar na expressão do enunciado.

Vamos lá!

Passo 2

Partindo de:

e x = 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 !

Podemos isolar a parte x 3 3 ! :

e x - 1 - x 1 ! - x 2 2 ! = x 3 3 !

Como 0 ≤ x ≤ 1 , temos:

e x - 1 - x 1 ! - x 2 2 ! ≤ x 3 3 !

E como x 3 3 ! ≤ x 2 2 ! , o sinal de igual deve sumir, pois agora expressão será sempre menor que x 2 2 :

e x - 1 - x 1 ! - x 2 2 ! < x 3 3 !

E como e x ≥ 0 , temos:

0 ≤ e x - 1 + x + x 2 2 < x 3 2

Como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

0 ≤ e x - 1 + x + x 2 2 < x 3 2

Exercícios de Livros Relacionados

D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo ⁡ P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0