A função definida por

f x = e - 1 / x 2   ,         s e   x ≠ 0 ; 0 ,                               s e   x = 0 ;

Possui todas as derivadas.

Calcule a série de Taylor de f x     e m   x = 0 .

Dica: Use que

y k k ! ≤ e y

Para concluir que se x ≠ 0 ,   então

e - 1 / x 2 x 2 k - 1 ≤ k ! x .

Passo 1

Oiii, bora comigo,vou explicar o cálculo da série de Taylor da função f ( x ) sem formatação de cores e de forma legível.

A série de Taylor de uma função f ( x ) em torno de x = 0 é dada pela seguinte fórmula:

f x = f 0 + f ' 0 1 ! x + f ' ' 0 2 ! x 2 + f ' ' ' 0 3 ! x 3 + …

Onde f ( 0 ) é a n-ésima derivada de x = 0 ,   f ' ( 0 ) avaliada em x = 0 ,   e n ! é o fatorial de n

A função f ( x ) é definida da seguinte maneira:

f x = e - 1 / x 2   ,         s e   x ≠ 0 ; 0 ,                               s e   x = 0 ;

Primeiro, encontramos as derivadas de f x em x = 0

1. f 0 = 0 (Isso é direto a partir da definição da função em x = 0 :

2. f ' x = d d x e - 1 x 2

Aqui, usamos a regra da cadeia para encontrar a derivada da exponencial composta:

f ' x = e - 1 / x 2 ⋅ d d x - 1 x 2 = - 2 x 3 e - 1 / x 2

3. f ' ' é a derivada segunda de \( f'(x) \):

f ' ' x = d d x - 2 x 3 e - 1 x 2

Passo 2

Aqui, usamos a regra do produto e a regra da cadeia. É um cálculo um pouco mais complicado, mas podemos fazê-lo.

Agora, para calcular f ' ' 0 , substituímos x = 0 na expressão acima:

f ' ' 0 = d d x - 2 x 3 e - 1 x 2 x = 0

No entanto, quando fazemos essa substituição, obtemos uma forma indeterminada 0 / 0 , o que significa que não podemos calcular f ' ' ( 0 ) diretamente dessa maneira. Precisaríamos usar uma técnica diferente, como a regra de L'Hôpital, para encontrar esse valor. Mas aqui surge um problema: a função f ' ' ( x ) não é contínua em x = 0 , tornando a aplicação da regra de L'Hôpital problemática.

Além disso, quando olhamos para f ' ' ' ( x ) vemos que:

f ' ' ' x = d d x - 2 x 3 e - 1 x 2

E, mais uma vez, ao calcular f ' ' ' 0 usando a substituição direta, obtemos uma forma indeterminada, o que indica que não podemos encontrar o valor de f ' ' ' 0 diretamente.

Passo 3

Essa situação de forma indeterminada ocorre porque a função e - 1 x 2   possui oscilações extremamente rápidas e intensas à medida que x se aproxima de 0 , o que torna as derivadas de ordem superior em x = 0 difíceis de calcular.

Em resumo, a série de Taylor não converge para f ( x ) em x = 0 devido à complexidade das derivadas da função nesse ponto, que não podem ser calculadas de forma direta e, portanto, não podemos determinar os coeficientes da série de Taylor.

Isso significa que a função f ( x ) não é analítica em x = 0 , e a série de Taylor não é uma representação válida para a função nesse ponto.

Resposta

Vide o passo a passo.

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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo ⁡ P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0