Mostre que:

  1. sin ⁡ x - x ≤ x 3 3 ! ,   ∀ x ∈ R

Passo 1

Para mostrar a desigualdade sin ⁡ x - x ≤ x 3 3 !   para x ∈ R vamos usar uma propriedade importante da função seno e a expansão em série de Taylor.

A expansão em série de Taylor da função seno centrada em x = 0 é dada por:

sin ⁡ x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 ! + … .

Agora, considerando a desigualdade que queremos demonstrar:

s i n x   -   x ≤ x 3 3 !

Passo 2

Note que sin ⁡ 0 = 0 então a desigualdade é verdadeira para x = 0

Vamos considerar x ≠ 0

s i n x   -   x = s i n 0 = 0

E, claro, x 3 3 ! = x 3 6

Assim, a desigualdade sin ⁡ x - x ≤ x 3 3 ! é verdadeira para todos os valores de x ∈ R pois ambos os lados são iguais a zero quando x = 0 e, quando x ≠ 0 , ambos os lados são positivos (pois a função seno é sempre limitada entre -1 e 1) e a parte direita x 3 3 !   é maior ou igual a zero.

Resposta

Vide o passo a passo.

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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo ⁡ P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0