Calcule uma aproximação para 37 que seja correta até a 3 ° casa decimal.

Passo 1

Fala aí galera, tudo bem com vocês?

Nessa questão precisamos calcular uma aproximação para 37 (até a 3 ° casa decimal).

Como podemos fazer isso??

Uma ideia interessante é usarmos o polinômio de Taylor até a 1 ° ordem. Ou seja, considerando-a centrada em 0 :

p x = f x 0 + f ' x 0 ⋅ x

f é a função que está sendo aproximada pelo polinômio de Taylor;

x 0 é o ponto em torno do qual a função está sendo aproximada, é onde dizemos que a função está centrada.

Então, para aproximar 37 , fazemos como em outras aproximações e escolhemos um ponto próximo x = x 0 , tal que f ( x 0 ) esteja próximo de 37 e que ele possua um valor que conseguimos calcular sem calculadora.

Tomando:

f x = x + 36

Um bom ponto é x 0 = 0 , pois:

f 0 = 0 + 36 = 6

E, é sempre bom que a função esteja centrada em 0 , facilita um pouco o desenvolvimento do polinômio de Taylor.

Assim, temos:

f 36 = x + 36

Massa!

Passo 2

Então, vamos primeiro encontrar o polinômio de Taylor associado à função:

f ' x = x + 36 '

= 1 2 ⋅ ( x + 36 ) 1 2 - 1

= 1 2 ⋅ ( x + 36 ) - 1 2

Portanto:

f ' x = 1 2 x + 36

Daí, o polinômio de Taylor será dado por:

p x = x 0 + 36 + 1 2 x 0 + 36   ⋅ x

Quem é x ?

Como queremos calcular:

37 = x + 36

Podemos tomar x = 1 .

Como comentamos no passo 1 , substituindo o ponto:

x 0 = 0

Vem que:

37 ≅ 36 + 1 2 36 ⋅ 1

= 6 + 1 2 ⋅ 6

Logo:

37 = 6 + 1 12

= 73 12

Portanto:

37 = 6,083

Prontinho galera, curtiram a solução?

Responde Aí!

Resposta

6,083

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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo ⁡ P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0